Напомним… Теорема. Доказательство. Проведем прямые СЕ и BF, параллельные прямой AD (E – точка на стороне АВ). Согласно обобщению теоремы Фалеса BС = CD BЕ EA. BЕ EA. Отсюда получаем BС = BE, BС + = BE + CD EA CD EA т. е. BD = BA, или BD = DC, CD EA CA EA Докажем, что ЕА = АС. Для этого заметим, что < 1 = < 2, < 3 = < 1, < 2 = < 4, откуда следует, что < 3 = < 4. Таким образом, треугольник АЕС равнобедренный, поэтому ЕА =АС. Следовательно, BD = DC BA AС Что и требовалось доказать. Если биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D, то BD = DC BA AС С D E B F A 11

Задача 1. На биссектрисе BD треугольника АВС отмечена точка М, так, что ВМ : MD = m : n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найти отношение ВК : КС, если АВ : ВС=р : q. B A K M D C P

Задача 1. Решение. Проведем через точку D прямую, параллельную прямой АК. Она пересекает сторону ВС в точке Р. Воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: отрезки ВМ и МD пропорциональны отрезкам ВК и КР, откуда следует, что BК = ВМ = m КР МD n Точно так же отрезки AD и DC пропорциональны отрезкам КР и РС, откуда получаем: КР = АD, Но AD = AB РС DC. DC BC (биссектриса BD треугольника делит противоположную сторону АС на отрезки AD и DC, пропорциональные прилежащим сторонам АВ и ВС), и так как АВ = р ВС q, то AD = KP = Р DC PC q. Пусть КР = рх, тогда РС = qх, КС = (р+q) х, а из равенства ВК = m КР n Получаем ВК = mр n Следовательно, ВК: КС = mр/(р+q) n. На биссектрисе BD треугольника АВС отмечена точка М, так, что ВМ : MD = m : n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найти отношение ВК : КС, если АВ : ВС=р : q. B A K M D C P x

Задача 2. Решение. Применим тот же прием, что и при решении предыдущей задачи: через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса KD ; DC = BM ; MC = р ; q Пусть АК = mх. Тогда в соответствии с условиями задачи КС = nх, а так как KD ; DC = р ; q, то KD = pn p+q Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: АО : ОМ = АK ; КD = mх ; p = m q p+q n р Аналогично доказывается, что ВО : ОК = р n, q m На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК: КС = m : n, ВМ : МС = р ; q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. Доказать, что АО : ОМ = m q n p ; ВО : ОК = p n q m B A K M D C Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике. O 1 1 nхnх 1 1 x

Замечание Существует простой способ, позволяющий запомнить полученные формулы. Например, чтобы написать формулу отношения АО : ОМ, нужно «двигаясь» от точки А к точке В по отрезкам АК, КС, СМ и МВ, взять отношение первого отрезка ко второму, т.е. АК КС, и умножить его на отношение третьего отрезка к четвертому, сложенное с единицей, т.е. на СМ. В результате получим: МВ АО : ОМ = AK CM = n q KC MB n p Формула для отношения ВО: ОК получается по тому же правилу, но нужно «двигаться» от точки В к точке А: ВО : ОК = р n q m B A K M C O