Предел последовательности и предел функции

Предел последовательности Рассмотрим две числовые последовательности (у n ) и (х n ) и изобразим их члены точками на координатной прямой. (у n ): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…; (х n ): у х

Обрати внимание, что члены последовательности (х n ) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (у n ) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (х n ) сходится, а последовательность (у n ) расходится. Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал ( а-r; a+r ) называют окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности. Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03. х a-ra-r a+r a

В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности». Определение 2. Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1. ( у n стремится к b или у n сходится к b ); 2. (предел последовательности у n при стремлении n к бесконечности равен b )

Примеры 1. ; 2. Если, то ;Если, то ; Если, то последовательность расходится. 3..

Обсудим результаты, полученные в примерах с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностей:

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 y=2

Обрати внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис 1 – к прямой у=0, на рис 2 – к прямой у=0, на рис 3 – к прямой у=2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.

Вообще равенство означает, что прямая является горизонтальной асимптотой графика последовательности, т.е. графика функции y=b

Свойства сходящихся последовательностей Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена, обратное неверно.обратное неверно. Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.

Вычисление пределов последовательности I. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:

Пусть,. II. Предел суммы равен сумме пределов: Пример.

III. Предел произведения равен произведению пределов: Пример.

IV. Предел частного равен частному от пределов (при условиях, что : Пример.

V. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: Пример.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию Вычислим суммы двух, трех и т.д. членов прогрессии:

Получилась последовательность Она может сходиться или расходиться. Если последовательность сходится к пределу S, то число S называется суммой геометрической прогрессии. Если расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии следующая:

Теорема. Если знаменатель геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству, то сумма прогрессии вычисляется по формуле Пример.

Предел функции 1. Предел функции на бесконечности. Предел функции на бесконечности. 2. Предел функции в точке. Предел функции в точке.

Предел функции на бесконечности Пусть дана функция в области определения которой содержится отрезок и пусть прямая Является горизонтальной асимптотой графика функции тогда или y=b

Вычисление предела функции на бесконечности 1. Для справедливо соотношение

2. Если,то а) предел суммы равен сумме пределов: б) предел произведения равен произведению пределов:

в) предел частного равен частному от пределов: г) постоянный множитель можно вынести за знак предела: Пример.

Предел функции в точке Пусть дана функция и пусть дана точка Пусть значение функции в этой точке существует и равно тогда (читают: предел функции при стремлении х к а равен b ) Пример. y=f(x) b a

Проверь себя! Дорогой друг, теперь тебе предстоит проверить свои знания. Для этого нужно ответить на тест, который состоит из 10 вопросов, К каждому вопросу дается на выбор три ответа, один из которых верный. Желаю удачи!

1. Окрестность какой точки является интервал (2,1; 2,3)? а) 2;2; б) 2,15;2,15; в) 2,2.2,2.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

а) 2;2; б) 1;1; в) 1,5.1,5. 2. Интервал (7; 5) окрестность точки 6, чему равен радиус этой окрестности?

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

3. Последовательность является: а) сходящейся;сходящейся; б) расходящейся;расходящейся; в) ничего определенного сказать нельзя.ничего определенного сказать нельзя.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

4. Число b называют пределом последовательности, если: а) в любой окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера;в любой окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера; б) в любой окрес тности точки b содержатся некоторые члены последовательности, начиная с некоторого номера;в любой окрес тности точки b содержатся некоторые члены последовательности, начиная с некоторого номера; в) в любой окрестности точки b не содержатся члены последовательности.в любой окрестности точки b не содержатся члены последовательности.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

5. Равенство означает, что прямая является для графика : а) горизонтальной асимптотой;горизонтальной асимптотой; б) вертикальной асимптотой;вертикальной асимптотой; в) наклонной асимптотой.наклонной асимптотой.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

6. Какое из утверждений верно? а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела;если последовательность не монотонна, то она не имеет предела; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел.если последовательность ограничена, то она имеет предел.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

7. Предел последовательности равен: а) 0;0; б) 1;1; в) 2.2.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

8. Сумма геометрической прогрессии равна: а) 40;40; б) 41;41; в) 40,5.40,5.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

9. Найти а) 0;0; б) ; в).

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

10. Найти а) 1;1; б) 3;3; в) 2.2.

Неверно ! Попробуй еще!

Верно ! Дальше!

Пример. Найти предел последовательности Решение.

Пример. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n, т.е. на n 2.

Пример. Найти предел последовательности Решение.

Пример. Найти предел последовательности Решение.

Пример. Вычислить Решение. Ответ: -1,5.

Дано (уn)= Доказать, что Решение. Возьмем любую окрестность точки 0, с радиусом r. Подберем натуральное число n 0 так, чтобы выполнялось неравенство Если например, r =0,001, то в качестве n 0 можно взять 1001; если, то n 0 =5774. Член данной последовательности с номером n 0 попадает в выбранную окрестность точки 0. В этой же окрестности будут находиться все последующие члены, тогда по определению 2 следует, что

Пример. Найти сумму геометрической прогрессии Решение. Здесь Так как знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству, то воспользовавшись формулой, получим Ответ:

Если, то Пусть, получим По аналогии с первым примером, здесь последовательность сходится к 0, значит. Если, то последовательность расходится. Пусть, получим Эта последовательность явно не имеет предела, значит она расходится.

Дана последовательность найти ее предел. Выполним некоторые преобразования выражения : Это значит, в частности, что и т. д., Данную последовательность перепишем так: Видно, что «точкой сгущения» является 2, значит

Рассмотрим пример. Дана последовательность (х n )=1, 2, 3, 1, 2, 3,…, 1, 2, 3,…. Эта последовательность ограничена, но не является сходящейся.

Пример. Вычислить Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на х 2: Ответ: 2.