О КРУЖНОСТЬ Евтушенко Е.Н., учитель математики МОУ «ООШ 7», г.Междуреченск

Что такое ОКРУЖНОСТЬ? Основные понятия Окружность -это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точк и. О r – отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности (радиус) Все радиусы имеют одну и ту же длину Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности d – хорда, проходящая через центр окружности (диаметр) Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса Центр окружности является серединой любого диаметра О – центр окружности ОМ – радиус АB и EF – хорды СD - диаметр М С D E F B A r 2/14

Взаимное расположение прямой и окружности Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса (r

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Случай 2 О HM p d=r 4/14

Случай 3 Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r), то прямая и окружность не имеет общих окружностей. О M H p d>r r 5/14

Касательная к окружности Мы рассмотрели, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и цент окружности. 6/14

Теоремы Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. 7/14

Центральные и вписанные углы OAВ L ALB = 180 ̊ Градусная мера дуги и окружности Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. ( см. рис. 1.а) Угол с вершиной в центре называется ее центральным углом. 1.а) 8/14

ALB= AOB Еcли AOB неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. (см. рис. 1.б) Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности. (см. рис. 1.в) O BA L ALB= 360 ̊ -AOB 1.б ) 1.в ) 9/14 ДУГА

Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ (см. рис. 1.а, б) Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 ̊ - АОВ Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 ̊ - АОВ (см. рис. 1.в) Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360 ̊ => Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360 ̊ 10/14 Градусная мера дуги

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается 11/14

Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС 1)Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС (см. рис. 2.а) 2)Луч ВО делит угол АВС на два угла (см. рис. 2.б) 3)Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла (см. рис. 2.в) A B O C а) B А О С D 2.б) 2.в) B О А С D 12/14

Следствие Следствие 1 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 3) Следствие Следствие 2 Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой (рис. 4) Рис. 3 Рис. 4 13/14

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды BА С D E Теорема 14/14