Урок 1 Логическое строение геометрии

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Расстояние, точка, прямая, плоскость, Множество. обозначения плоскостей. М – все точки пространства

Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость. АКСИОМЫ 1) М и М; 2) {А, В, С} M | {А, В, С} Рис. 2 Вопросы 1) Зачем первая часть аксиомы при наличии второй? Каким утверждением ее можно было заменить? 2) Является ли множество М конечным или бесконечным? 3) Верно ли, что через каждые одну или две точки пространства проходит плоскость? 4) Докажите, что в пространстве через каждые две точки проходит прямая. Следует ли отсюда, что прямые в пространстве можно обозначать (AB), (CD),..., как в планиметрии?

Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая. Аксиома 2. С, С = c Почему С с? Определение. Две различные плоскости, имеющие общую точку, называются пересекающимися. 1)Докажите, что X 2)Докажите существование пересекающихся плоскостей Определение. Сечением фигуры F плоскостью называется их пересечение.

Если прямая проходит через две точки, лежащие в данной плоскости, то она лежит в этой плоскости. Аксиома 3. A, B и A с, B с с Сколько общих точек могут иметь плоскость и прямая, не лежащая в ней? Определение. Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися. Докажите их существование

Расстояние между двумя точками пространства не зависит от того, на какой из плоскостей, содержащих эти точки оно измерено. Аксиома 4. A M, B M !|AB| Почему потребовалась такая аксиома?

: F: {отрезков} R+, удовлетворяющую следующим свойствам Расстояние 1. [AB] | F([AB]) = [AB] = [CD] F([AB]) = F([CD]). Как называется такой вид определения? 3. Если точки С1, С2,..., Сn таковы, что взятые в этом порядке, они разбивают [AB] на отрезки, не имеющие общих внутренних точек, то F([AB]) = F([AC1]) + F([C1C2]) F([CnB]).

2) Как на гладком столе проверить качество изготовления линейки? На чем основан ваш способ проверки? Как решить обратную задачу? 1) Из одной точки одновременно разных направлениях вылетели три вороны со скоростями 1, 2 и 3 метра в секунду. В какой момент после вылета они окажутся в одной плоскости?

Ученик нарисовал четырехугольник АВСD Прямая АD лежит в плоскости, прямая ВС пересекает плоскость в точке К. Есть ли ошибка на рисунке? Ученик нарисовал четырехугольник АВСD Точка D лежит в плоскости а. Прямая AВ пересекает плоскость а в точке K, прямая ВС пересекает плоскость а в точке L. Есть ли ошибка на рисунке?

Аксиома 5 Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.

Концы ломаной, состоящей из двух отрезков, лежат по разные стороны от данной плоскости. Докажите, что она пересекает эту плоскость. Обобщите это утверждение Имеется п плоскостей. Имеют ли они все общую точку, если: а) каждые две из них имеют общую точку; б) каждые три из них имеют общую точку?

1) Дано: = c; а ; а с = K. Доказать: а = K. 2) Запишите и докажите обратное утверждение 3)Докажите, что три попарно пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Дано: a b = C; a c = B; b c = A. Доказать: | {a, b, c}