Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угол между.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости Уравнение плоскости в отрезках Уравнение плоскости, проходящей через три точки Угол между двумя плоскостями.
Advertisements

Урок1 Прямая на плоскости.. Виды уравнений прямой на плоскости. Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже уравнений. 1. Прямая на.
Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.
Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.
Аналитическая геометрия Лекции 8,9. Прямая на плоскости.
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.
Урок 2 Прямая на плоскости.. Взаимное расположение прямых на плоскости Прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными. 1. Пусть.
Пусть прямая задана уравнением: И пусть задана плоскость Рассмотрим возможные случаи ориентации прямой и плоскости:
Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго.
3. Взаимное расположение прямых на плоскости На плоскости две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения прямых 1 и 2 имеют вид:
Плоскость и прямая в пространстве Лекции 10, 11. Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому.
Прямая на плоскости Вопросы 4 Деление отрезка в данном отношении 4 Уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно заданному вектору 4 Уравнение.
Плоскость и прямая в пространстве Лекция 10. Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому.
ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. §1. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Пусть имеется прямоугольная система координат.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Уравнение линии на плоскости. Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих.
Элементы аналитической геометрии. 9 класс.. р Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, ей параллельной.
Перпендикуляр и наклонная. Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна.
Общее уравнение прямой В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет.
{ общее уравнение прямой на плоскости – уравнение прямой с угловым коэффициентом – векторная и параметрическая формы уравнения прямой – совместное исследование.
Транксрипт:

Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угол между двумя прямыми Расстояние от точки до прямой Биссектриса углов между прямыми Деление отрезка в заданном отношении

Общее уравнение прямой М 0 (х 0 ; у 0 ) Уравнение вида: Теорема с произвольными коэффициентами А; В; С такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой. Если точка М 0 (х 0 ; у 0 ) принадлежит прямой, то общее уравнение прямой превращается в тождество: Пусть задана прямая: Вектор будет ортогонален этой прямой. Доказательство: Пусть некоторая точка М 0 (х 0 ; у 0 ) принадлежит прямой: (1) (2)

Общее уравнение прямой Найдем разность уравнений (1) и (2): Пусть точки М 0 (х 0 ; у 0 ) и М (х; у ) лежат на данной прямой. (3) М 0 (х 0 ; у 0 ) М (х; у ) Рассмотрим векторы: и Равенство (3) представляет собой скалярное произведение этих векторов, которое равно нулю: Таким образом, вектор перпендикулярен прямой и называется нормальным вектором прямой. Равенство (3) также является общим уравнением прямой

Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты А, В, и С отличны от нуля. В противном случае уравнение называется неполным. 1) Виды неполных уравнений: y 0 х 2) 3) 4) 5)

Уравнение прямой в отрезках Рассмотрим полное уравнение прямой: Обозначим:Получим: Уравнение в отрезках y 0 х b a Уравнение в отрезках используется для построения прямой, при этом a и b – отрезки, которые отсекает прямая от осей координат.

Каноническое уравнение прямой Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 (х 0 ; у 0 ) и параллельно заданному вектору М 0 (х 0 ; у 0 ) М (х; у ) Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на прямой, только в том случае, если векторы и коллинеарны. По условию коллинеарности получаем: Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от друга точки: М 1 (х 1 ; у 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ). М 1 (х 1 ; у 1 ) М 2 (х 2 ; у 2 ) Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом уравнении можно взять вектор: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой с угловым коэффициентом y 0 х Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий вектор, то угловой коэффициент k этой прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX. Уравнение прямой с угловым коэффициентом = b

Пример Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий вектор: Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом. Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с осью OX. 1. Каноническое уравнение: 2. Общее уравнение:

Пример 3. Уравнение в отрезках: 4. Уравнение с угловым коэффициентом: y 0 х М b a

Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями: Угол между этими прямыми определяется как угол между нормальными векторами к этим прямым:

Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями: Угол между этими прямыми определяется как угол между направляющими векторами к этим прямым:

Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: y 0 х

Расстояние от точки до прямой Пусть необходимо найти расстояние от точки М 0 (х 0 ; у 0 ) до прямой, заданной общим уравнением: М 0 (х 0 ; у 0 ) М 1 (х 1 ; у 1 ) Пусть М 1 (х 1 ; у 1 ) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М 0 на прямую L. Найдем скалярное произведение векторов и Найдем скалярное произведение в координатной форме:

Расстояние от точки до прямой Точка М 1 (х 1 ; у 1 ) принадлежит прямой L, следовательно:

Биссектриса углов между прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями: Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе угла между прямыми, то расстояние от точки М до прямой L 1 равна расстоянию до прямой L 2 : M(x; y)

Деление отрезка в заданном отношении Разделить отрезок М 1 М 2 в заданном отношении λ > 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В координатной форме:

Пример Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6) Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины А.А. 1. Уравнение высоты: А В С Н (ВС): (АН):

Пример 2. Уравнение медианы: А В С М т. М:

Пример 4. Уравнение биссектрисы: А В С К (АВ): (АС):

Пример Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно выполняться условие: или 1) 2)