Нахождение наибольших (наименьших) значений, экстремумов функций. (задача В14 открытого банка задач ЕГЭ). г. Мурманск МБОУ гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна.

2 Необходимые умения и навыки. 1) Уметь использовать формулы и правила дифференцирования для нахождения производных функций ) Владеть алгоритмом нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке. 3) Владеть алгоритмом нахождения точек экстремума. 4) Уметь решать простейшие тригонометрические и алгебраические уравнения.

Формулы дифференцирования Правила дифференцирования

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. 1)Найти стационарные и критические точки, принадлежащие отрезку. Для этого – найти производную функции и решить уравнение у=0. 2)Найти значение функции в полученных точках и на краях отрезка. 3)Сравнить полученные значения и записать ответ, соответствующий вопросу задачи.

Алгоритм нахождения экстремумов функции. 1)Найти стационарные и критические точки. Для этого – найти производную функции и решить уравнение у=0. 2)Определить знаки производной на полученных Числовых промежутках. 3) Внутренняя точка области определения, в которой производная меняет знак с «+» на «-» ( с «-» на «+») является точкой максимума ( минимума ).

Задачи открытого банка. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрических функций.

Прототип 1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 1) Экстремумов нет. Найдем значение функции на краях отрезка. 2) Ø ФормулыАлгоритм

Прототип 2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) Экстремумов нет. Найдем значение функции на краях отрезка. 2) Ø ФормулыАлгоритм

Прототип 3. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) В указанный отрезок входит число. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

Прототип 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1)В указанный отрезок входят числа. Найдем значение функции в этих точках и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

Задачи открытого банка. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения алгебраических функций.

Прототип 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) В указанный отрезок входит число -1. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

Прототип 6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 1) В указанный отрезок входит число 4. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

2) Прототип 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) Эти числа являются краями отрезка. Найдем значение функции в этих точках. ФормулыАлгоритм

2) Прототип 8. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 1) Это число принадлежит указанному отрезку. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм

Прототип 9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 2) 1) Указанному отрезку принадлежит число 6. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм

Прототип 10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 4) 1) Указанному отрезку принадлежит число -3. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм Это рациональный способ работы. Но ты можешь, просто, аккуратно и внимательно раскрыть скобки. Тогда далее решаешь традиционное квадратное уравнение.

Прототип 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 2) 1) Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм Ø Указанному отрезку принадлежит число -2. Очевидно, что это значение намного меньше двух предыдущих. Оно не может являться ответом и можно не выполнять эти неудобные вычисления.

Задачи открытого банка. Нахождение точек экстремумов функций.

Прототип 12. Найдите точку максимума функции 3) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученные точки на числовой прямой.

Прототип 13. Найдите точку минимума функции 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученные точки на числовой прямой.

Прототип 14. Найдите точку максимума функции 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученные точки на числовой прямой.

Прототип 15. Найдите точку максимума функции 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученную точку на числовой прямой.

Прототип 16. Найдите точку минимума функции, принадлежащую промежутку. 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Указанному промежутку принадлежит только точка 0,5. Отметим ее на числовой прямой.

Задачи открытого банка. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения алгебраических функций и экстремумов без производной.

В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x) с учетом области определения

Функция возрастает на всей области определения, следовательно ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения. Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. График – парабола, ветви направлены вверх. Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R. Прототип 17. Найдите точку минимума функции

Функция возрастает на всей области определения, следовательно принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с учетом области определения. Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. График – парабола, ветви направлены вниз. Следовательно Прототип 18. Найдите наибольшее значение функции - условие существования корня.

Еще полезные ресурсы для тренировки: