Решение заданий типа С3 ЕГЭ Учитель МОУ Яхромской СОШ 3 Числовская Н.В.

Пример1: (1 способ)

Метод интервалов Применяют для неравенств вида f(x)>0 (вместо знака > могут быть знаки ). На числовой оси, внутри области допустимых значений, выделяют интервалы, на которых функция f(x) имеет постоянный знак. Часто концевыми точками таких интервалов являются точки, в которых f(x)= 0 или не определена, т.е. задача о выделении интервалов знакопостоянства сводится в этом случае к решению соответствующих уравнений. Затем определяют знаки на этих интервалах, т.е. у каждого из получившихся интервалов ставят знак плюс или минус в зависимости от того какой знак имеет f(x) на данном интервале, изучают концевые точки и выписывают ответ. Рассмотрим важный частный случай применения метода интервалов для алгебраических неравенств. Сформулируем правило расстановки знаков при решении неравенств вида где. На координатную ось наносят числа x1,x2,...,xn, которые разбивают её на интервалы знакопостоянства функции, стоящей в левой части неравенства. В промежутке справа от xn ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через точку xi меняют знак, т.е. левее xn ставят знак –, затем + и т.д. Множество решений неравенства будет объединение интервалов, в каждом из которых поставлен знак +. Аналогично может быть описано решение неравенств, в которых вместо знака > стоят знаки

При решении неравенств вида ; правило расстановки знаков изменяется в том смысле, что, двигаясь, справа налево, при переходе через точку xi меняют знак, если ki – нечетное, и не меняют знак, если ki четное. После этого множество решений определяют, как и в предыдущем случае. При решении рациональных неравенств где P(x) и Q(x) – многочлены, методом интервалов на числовую ось наносятся точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Далее на полученных интервалах расставляются знаки, которые определяются или непосредственными вычислениями в удобных точках, взятых внутри этих интервалов, или в соответствии с правилом расстановки знаков и выписывается ответ. В частности, если P(x) и Q(x) не содержат множителей вида, где, или общих множителей (x- d) в одинаковых степенях, то достаточно определить знакв любом интервале, а в остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Пример1 (2 способ) Решение. Функция определена при: Найдём нули функции:

Пример 2: (1 способ) Решение. Рассмотрим функцию

Решение неравенств с использованием свойств функции -область определения функции; -монотонность функции; Пример 2 (2 способ) (свойство монотонности функции) Решение. Используем утверждение: «Если функция f возрастает на множестве то выражения f(a)-f(b) и a-b Имеют одинаковый знак для всех а и в из этого множества» Сначала используем его для,а затем для

Пример: Решить неравенство. (свойство монотонности)

Пример. Решить неравенство ( область определения)

Пример 2 (3 способ) (способ расщепления неравенств)

Метод введения новой переменной. Пример. Решите неравенство Решение.

Некоторые особенности решения логарифмических неравенств. Рассмотрим пример так написать нельзя, т.к. правая часть равенства не имеет смысла. Поэтому нужно помнить, что свойства логарифмов являются тождествами лишь при положительных значениях переменных и использовать их нужно с осторожностью. Таким образом, при преобразованиях уравнения или неравенства необходимо следить за тем, чтобы не происходило сужение области определения уравнения, которое может привести к потере части решения. Поэтому важно помнить:

Решите неравенства:

Список литературы: МордковичА.Г., Солодовников А.С. Математический анализ – М: Высшая школа,1990 Материалы ЕГЭ -2010, ЕГЭ-2011 (задача С3); Корянов А.Г. Прокофьев А.А. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С3)