Тема: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА МБОУ лицей 1 г. Комсомольск-на-Амуре Чупрова О.С.

Комплексные числа.

План: 1.История развития комплексных чисел.История развития комплексных чисел. 2.Соглашение о комплексных числах.Соглашение о комплексных числах. 3.Геометрическая интерпретация комплексного числа.Геометрическая интерпретация комплексного числа. 4.Сложение и умножение комплексных чисел.Сложение и умножение комплексных чисел. 5.Геометрическое изображение суммы комплексных чисел.Геометрическое изображение суммы комплексных чисел. 6.Вычитание и деление комплексных чисел.Вычитание и деление комплексных чисел. 7.Геометрическое изображение разности комплексных чисел.Геометрическое изображение разности комплексных чисел. 8.Тригонометрическая форма комплексного числа.Тригонометрическая форма комплексного числа. 9.Квадратное уравнение с комплексным неизвестным.Квадратное уравнение с комплексным неизвестным.

История развития комплексных чисел. Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке. И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 + q = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q, где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались ложными) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным.

Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными.

Соглашение о комплексных числах. 1.Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i) П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2. 2.Комплексное число вида 0 + bi называется чисто мнимым. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi. 3.Два комплексных числа a+bi и c+di называются равными тогда и только тогда, когда a=c и b=d, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+Bi можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+Bi изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z.

Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+Bi как вектора, т.е. вектора с началом в точке O(0;0) и с концом в точке М(A;B). Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа изображать точками или векторами.

Пусть дано комплексное число Z=A + Bi. Сопряженным с Z называется комплексное число A – Bi, которое обозначается, т.е. Z=A + Bi =A – Bi. Отметим, что A - Bi = A + Bi, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство (Z)=Z. Модулем комплексного числа Z=A + Bi называется число A² + B² и обозначается, т.е. |Z|= |A + Bi |= A² + B²

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Суммой двух комплексных чисел A+Bi и C+Di называется комплексное число (A+C) + i (B+D), т.е. (A+Bi) + (C+Di)=(A+C) + i (B+D) Произведением двух комплексных чисел A+Bi и C+Di называется комплексное число (A C – B D)+(A D+B C)i, т.е. (A + Bi) (C + Di)=(A C – B D) + i (A D + B C)

Основные свойства:

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел.

ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Геометрическое изображение разности комплексных чисел.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+iB выражаются через его модуль = r и аргумент следующим образом: A= rcos ; B= rsin. Число Z можно записать так: Z= r cos + i |Z| sin = r (cos + isin ) Z = r (cos + isin ) (1) Число называют аргументом комплексного числа.

Как уже говорилось выше |Z| = r = A² + B², равенство (1) можно записать в виде A+Bi = A² +B² cos + i A² +B² sin, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим: cos = A / A² + B², sin = B / A² + B².

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ.

Вывод Комплексные числа расширяют знания о множестве чисел. Комплексные числа дают возможность решать различные квадратные уравнения. «Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому». Д. Пойа