Лекция 6 по дисциплине «Информационные технологии» на тему: «Решение уравнений и неравенств и системы уравненийв MathCAD» Мамонова Татьяна Егоровна гр. 8Е21

Тригонометрические уравнения Сложность решения уравнений, содержащих тригонометрические функции, состоит в том, что функций, обратных к тригонометрическим, не существует, а существуют лишь бесконечно многозначные обратные отображения. Поэтому любое вычислительное средство сможет найти только главное значение обратного выражения. Чтобы получить множество решений, необходимо самостоятельно воссоздать побочные значения обратного отображения. 1

Для тангенса (и котангенса) этого главного значения достаточно посредством периодического продолжения atan(x)+kp, где k – целое представить все решения. При решении уравнений с тангенсами и котангенсами возникает также вполне разрешимая проблема, связанная с тем, что данные функции определены не во всех точках числовой прямой. Указанное ограничение не играет особой роли при решении уравнений с помощью MathCAD. 2

Так как синус и косинус определены для всех значений аргумента, вопрос об области определения при решении уравнений, содержащих только эти тригонометрические функции, как правило, отпадает. Вторая сложность: обратные функции asin(x) и acos(x), значениями которых являются главные значения обратных отображений, не дают всех решений в рамках одного периода (2pi). 3

Пример 6.1 1) 2) 4

Пример 6.2 Решение «в лоб»: Решение с анализом: 5

Решение неравенств Неравенства, как и уравнения, можно решать: 1) с использованием символьного знака равенства, 2) отметив переменную следом курсора, посредством выполнения команды Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы); 3) в разных неравенствах могут быть использованы различные знаки неравенств; 4) знаки «больше» и «меньше» могут вводиться непосредственно с клавиатуры. Все остальные знаки можно вводить при помощи панели Evaluation (Вычисления), либо сочетанием клавиш. 6

ЗнакСочетание клавиш Ctrl+0 Ctrl+9 Ctrl+3 7

Системы линейных уравнений Функция: lsolv(A,B) Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида: А*X =B, выдавая решение – вектор X. А – матрица коэффициентов размерности nxn; В – вектор свободных членов размерности n ; X – вектор неизвестных пока решений. 8

Блок: Given Уравнения Ограничительные условия Find (v1,v2,...vn) – возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения vi – переменные, которые надо найти. Последовательность действий при численном решении: 1) Задаем начальные (стартовые) значения для искомых переменных. 2) Заключаем уравнения в блок решения, начинающийся ключевым словом Given и заканчивающийся ключевым словом Find(v1,v2,...vn). 3) Если после слова Find(v1,v2,...vn) ввести знак равенства [=], MathCAD выдаст численное решение. 9

Пример 6.3 9

Нелинейные уравнения и системы уравнений Многие уравнения (например, трансцендентные), и системы из них не имеют аналитических решений. Они могут решаться численными методами с заданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной (TOL). Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с помощью функции Rооt(Выражение, Имя_переменной) Эта функция возвращает значение переменной с указанным уровнем точности, при котором выражение дает 0. 11

Пример

Поиск корней многочлена Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n MathCAD содержит функцию: polyroots(V), Она возвращает вектор корней многочлена (полинома) степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину равную n+1. Корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Не рекомендуется пользоваться этой функцией, если степень полинома выше пятой-шестой, так как тогда трудно получить малую погрешность вычисления корней. 13

Пример

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом – директивой Given – и имеющий следующую структуру: Given Уравнения Ограничительные условия Выражения с функциями Find и Minerr В блоке используется одна из следующих двух функций: 1) Find(vl, v2,..., vn) – возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения; 15

2) Minerr(vl, v2,..., vn) – возвращает значение одной или ряда переменных для приближенного решения. 3) Принципиальные различия функций: функция Find используется, когда решение реально существует (хотя и не является аналитическим), функция Minerr пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратичной погрешности решения. 16

Пример

Спасибо за внимание