Факультативное занятие в 11 классе: Графический подход к решению задач с параметром и модулем подборка заданий для подготовки к ЕГЭ

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение. Правая часть этого уравнения задает неподвижный «уголок», левая – «уголок», вершина которого двигается по оси абсцисс. 2 х у АВ РЕШЕНИЕ.

Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А, или точку В. Имеем, тогда А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению Ответ: В 2 х у А

Графический способ решения задач с параметром Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) =0 1. Строим графический образ 2. Пересекаем полученный график прямыми параллельными оси абсцисс 3. «Считываем» нужную информацию Схема решения:

Данное уравнение равносильно совокупности следующих двух уравнений: Количество решений данного уравнения - это число точек пересечения графика данного уравнения с горизонтальной прямой. По рисунку «считываем» ответ х а Найти количество корней уравнения в зависимости от параметра а 1

(«переход» метода интервалов с прямой на плоскость ) Неравенства с одной переменной Неравенства с двумя переменной 1. ОДЗ 2. Граничные линии 3. Координатная плоскость 4. Знаки в областях 5.Ответ по рисунку. 1.ОДЗ 2. Корни 3. Ось 4. Знаки на интервалах 5. Ответ. Метод интервалов: Метод областей: ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОБЛАСТЕЙ

Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами у – х = 0 и х у - 1= 0 которые разбивают плоскость на несколько областей. При х = 1, у = 0 левая часть неравенства равна -1. Следовательно, в области, содержащей точку (1; 0), она имеет знак минус, а в остальных областях её знаки чередуются. Ответ: заштрихованные области на рисунке. х у На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

Граничные линии: Строим граничные линии. Они разбивают плоскость на восемь областей, определяя знаки подстановкой в отдельных точках, получаем решение х у На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству Ответ: заштрихованные области на рисунке.

МЕТОД ОБЛАСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ Ключ решения: Графический приемСвойства функций Параметр – «равноправная» переменная отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию f (x ; a) >0 Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод В задаче дан один параметр а и одна переменная х Они образуют некоторые аналитические выражения F (x;a), G (x;a) Графики уравнений F(x;a) = 0, G(x;a) = 0 строятся несложно 1.Строим графический образ 2.Пересекаем полученный график прямыми перпендикулярными параметрической оси 3.«Считываем» нужную информацию Схема решения:

Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства. Применим обобщенный метод областей. Определим знаки в полученных областях, и получим решение данного неравенства. Осталось из полученного множества исключить решения неравенства По рисунку легко считываем ответ Ответ: х р Построим граничные линии р = 3 р =

Сколько решений имеет система в зависимости от параметра а? x y Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1 Графиком первого уравнения является семейство квадратов с вершинами в точках 4 решения при а = 1 решений нет при 8 решений при 4 решения при решений нет при Ответ: решений нет, если 8 решений, если 4 решения, если 0

При каких положительных значениях параметра а, система уравнений имеет ровно четыре решения? Запишем систему в виде: Построим графики обоих уравнений. Шаги построения первого уравнения: Строим уголок затем и симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Второе уравнение задает семейство окружностей с центром (2;0) и радиусом а. Ответ: х у решений нет при 8 решений при 4 решения при при решений нет; при и система имеет 4 решения; система имеет 8 решений при Итак: 0

Задачи, взятые из материалов ЕГЭ прошлых лет

Решение. Рассмотрим сумму данных выражений t у Сумма данного выражения равна 1, при пересечения параболы с горизонтальной прямой. По рисунку «считываем» ответ Построим в прямоугольной системе координат график параболы и прямые у = а, учитывая ОДЗ: t [1;2]. Ответ: a [5;12] Пустьтогда уравнение примет вид При каких значениях параметра а сумма и равна 1 хотя бы при одном значении х ?

Найдите все значения параметра а, при которых количество корней уравнения равно количеству общих точек линий и Уравнение задает неподвижный уголок. Уравнение задаёт семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом Построим эскизы этих линий и определим из рисунка количество их общих точек. х у 1 решение при 2 решения при 3 решения при 4 решения при 3 решения при 2 реш. при 1 решение при нет решение при А В С О

Запишем первое уравнение в виде Заметим, что х = 0 – корень не зависимо от параметра а. Уравнение может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от параметра а и дискриминанта. а = 5; а = 1 Три решенияДва решенияодно решение совокупность линий первое уравнение Осталось заметить, что условие задачи выполняется только в трех точках при Ответ:

Найти все положительные значения параметра а при каждом из которых данная система имеет хотя бы одно решение. Решение. Запишем систему в виде Построим графический образ соответствий, входящих в систему. х у Очевидно, что условие задачи выполняется при Ответ:

Найдите все значения параметра а, для которых при каждом х из промежутка (4;8] значение выражения не равно значению выражения Введем новую переменную: тогда уравнение примет вид: График левой части – парабола f (t), график правой части – прямая g(t). -8 t Решим задачу при условии равенства данных выражений. Значит условие исходной задачи выполняется при 0 у

Литература Анимация с сайта: 1.Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых: учеб. пособиеавт.-сост.: А.Т. Лялькина, Е.В. Чудаева и др. – Саранск, П.И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, Б.М.Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницен, С.И.Шварцбурд. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. Пособие для кл.сред.шк. - М.: Просвещение, Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. ЕГЭ – Составитель: Клово А.Г. – Задачи для решения из книг: