Комитет по образованию города Майкопа Доклад на тему: «Гиперкуб» Номинация: математика Выполнила Степанова Надежда ученица 11 М класса гимназии 22 Научный руководитель учитель высшей категории гимназии 22 Захарьян Алла Анатольевна 2008 г. г. Майкоп

Отрезок получается из точки

Квадрат получается из отрезка

Трехмерный куб получается из квадрата

Гиперкуб получается из трехмерного куба

Берем отрезок... со ВСЕХ сторон поместим по отрезку и ЕЩЕ ОДИН прикрепим к любому

Гнем в точках на 90°, соединяются две внешние (крайние) точки. Получаем квадрат

Берем квадрат... со ВСЕХ сторон поместим по квадрату... и ЕЩЕ ОДИН прикрепим к любому

Гнем в ребрах на 90°, соединяются внешние точки Получаем куб

Берем куб... со ВСЕХ сторон поместим по кубу

и ЕЩЕ ОДИН прикрепим к любому

Гнем ее ВО ВСЕХ ГРАНЯХ 3D-кубов на 90° в сторону 4-ого(о-го- го) измерения, соединяются пары внешних граней. Получаем 4D-КУБ.

Проекция куба на плоскость Проекция гиперкуба на «трехмерную плоскость»

Составляющие элементы: 16 вершин, 32 ребра, 24 двумерных граней, 8 трехмерных граней.

Отрезок(«одномерный куб») располагается на прямой (в «одномерном пространстве») и в системе координат Ох может быть задан неравенством 0 х 1 01 х

Квадрат(«двумерный куб») располагается на плоскости (в «двумерном пространстве») и в системе координат Оху может быть задан системой неравенств 0 х 1, 0у х у 1

Куб располагается в системе координат Охуz трехмерного пространства может быть задан системой неравенств 0 х 1, 0у 1, 0z 1 z x y

Гиперкуб – это множество всех четверок действительных чисел (x; y; z; t), для которых выполняются следующие неравенства 0х 1, 0у 1, 0z 1, 0t 1 z y x t

Сечения куба

Сечения гиперкуба

1. Диагонали гиперкуба равны 2. Диагонали гиперкуба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 3. Объём боковой поверхности гиперкуба равен 8 4. Гиперобъём гиперкуба равен

В пустой трехмерной кубической комнате со стороной 1 ползает по стене таракан. Какова длина кратчайшего пути от одного угла комнаты к противоположному ? Таракан бегает по стенам, а не летает по воздуху.

Шаг 1. Путь, пройденный тараканом по кубу считать сложно. Но мы отлично умеем считать его путь по каждой грани в отдельности. "Развернем" куб, cведя все операции в трехмерном пространстве к отлично знакомым двумерным. Шаг 2. Итак, соответствие обнаружено. То, что оно не полное: некоторые точки "размножились", для нас роли не играет. Построенная модель полностью соответствует решаемой задаче. Теперь можно посчитать кратчайший путь от A до C". По т. Пифагора он равен корню из пяти.

Шаг 3. Возвращаемся к кубу. Переносим на него сделанное в "модели". Шаг 4. Очевидно, выбранный путь есть наикратчайший. Формализуем решение и записываем. Ответ:

В пустой четырехмерной кубической комнате со стороной 1 ползает по стене таракан. Какова длина кратчайшего пути от одного угла комнаты к противоположному ? Таракан бегает по стенам, а не летает по воздуху. Каков же кратчайший путь от точки ( 0, 0, 0, 0 ) до ( 1, 1, 1, 1 ) по двумерным граням ?

Шаг 1. Посмотрим на обычный куб 3D : Координатная система в принципе одинакова хоть 3D, хоть 4D. Поэтому соответствия, обнаруженные через координаты и общие понятия прямой и плоскости, должны будут действовать и в этой задаче. Что такое двумерная грань трехмерного куба ? Одна координата фиксирована, две же другие изменяются, как хотят. Так получается квадрат, то есть одна грань. Какие точки связаны между собой ? Очевидно, те, у которых различается ТОЛЬКО ОДНА координата. При переходе к другой точке изменится именно она.

Шаг 2. Построим нужную конфигурацию А теперь построим такую же «развертку»: Нарисуем ту грань, по которой будем идти первой. В силу симметрии куба не играет роли - какую. Поэтому зафиксируем в ней последние две координаты (выделены красным ). На рисунке эта грань – нижняя. Наша задача - построить минимальный путь по квадратикам, следуя условиям соответствия из шага 1: 1. связаны с друг другом только точки с равными тремя координатами, 2. на одном квадратике могут находиться только точки с фиксированными двумя координатами.

Шаг3. Наша задача теперь - максимально быстро изменить координаты с 0 до 1, идя по квадратикам и соблюдая условия модели. Из точки ( 1, 1, 0, 0 ) можно добраться до ( 1, 1, 1, 1 ) по двум ребрам. Их различное расположение дает нам два возможно кратчайших пути. При подсчете видим, что правый короче. Его длина и есть ответ к задаче. Ответ:

"Распятие" (1954) Сальвадор Дали