1 Случайное событие. Вероятность события

2 Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, при которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или другой результат. Опыт может протекать независимо от человека, который может выступать в роли наблюдателя. Опыт со случайным исходом – это опыт, результат которого варьируется при его повторении. Случайным событием называется всякий факт, которой в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События обозначают большими буквами латинского алфавита.

3 Примеры 1)Опыт: бросание монеты. Событие: появление числа. 2) Опыт: стрельба по мишени. Событие: попадание в десятку. 3) Опыт: изъятие карты из колоды. Событие: появление короля. 4) Опыт: измерение температуры у больных. Событие: температура равна 39 хотя бы у одного больного.

4 Вероятность Вероятность – это число, характеризующее степень возможности события. Наблюдаемые события делятся на 3 вида: достоверное – событие, которое в результате опыта неизбежно произойдет; невозможное – событие, которое в данном опыте не может произойти; случайное – событие, которое в результате опыта либо происходит, либо не происходит.

5 Примеры 1. В корзине три белых шара. Опыт: извлечение 1 шара. Событие A: шар белый ( достоверное событие). Событие B: шар черный шар (невозможное событие). 2. В корзине два белых и один черный шар. Опыт: извлечение 1 шара. Событие C: шар белый (случайное событие). Событие D: шар зеленый (невозможное событие). ? Сформулируйте достоверное событие для данного опыта.

6 Полная группа событий Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры: появление 1, 2,3,…..6 при бросании игральных костей. появление карты масти черви, пики, крести, бубны при вынимании 1 карты из колоды. при ответе на два вопроса: «хотя бы один не верный», «хотя бы один верный» К полной группе можно прибавить еще какие угодно события.

7 Несовместные события Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры: выпадение 1 и 2 при бросании кости; при измерении температуры воздуха ежедневно t 20˚; появление короля, десятки, шестерки при вынимании 1 карты из колоды. Из несовместных событий можно убрать любые (пока остаются хотя бы 2) не нарушая свойства несовместности.

8 Равновозможные события Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Примеры: появление определенного числа очков при бросании кости появление карты одной масти при изъятии 1 карты из колоды.

9 Случаи Образующие полную группу несовместные и равновозможные события называются случаями (шансами) Примеры: появление «герба», «решки» при бросании монеты появление карты масти «черви», «бубны», «треф», «пики» при изъятии из колоды одной карты вызов одного человека к доске из группы студентов Случай называется благоприятным событию А, если появление этого случая влечет за собою появление данного события. Примеры: Появление картинки при изъятии одной карты из колоды в 36 карт: благоприятны 4+4+4=12 случаев и неблагоприятны остальные 24 случая. Появление герба при бросании монеты: благоприятны 1 случай, неблагоприятны – 1 случай.

10 Классическое определение вероятности Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев

11 Свойства вероятности 1. - вероятность достоверного события; 2. - вероятность невозможного события; 3. 0P(A)1 - вероятность любого события.

12 Задачи: 1) Из урны, содержащей 3 белых шара и 5 синих шаров, извлекают 1 шар. Найти вероятность того, что шар белый. Событие A : вытащили белый шар. P(A)=3/8. 2) Из урны, содержащей 8 шаров: 5 синих и 3 красных, извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что вытащили 2 синих шара. Событие B: изъятые шары синие P(B)= 3) Бросают 2 монеты. Найти вероятность, что выпадет хотя бы один герб А= {хотя бы 1 герб}, А1= {1 герб, 1 решка}, А2={1 герб, 1 герб} А3= {1 решка, 1 решка}, А4={1 решка, 1 герб} P(A)=3/4 4) Забыто три последние цифры в номере телефона. Найти вероятность того, что номер угадан с первого раза. Событие С: номер угадан. P(C)=

13 Относительная частота. Устойчивость относительной частоты Определение: Относительной частотой называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний - относительная частота события А или статистическая вероятность, m- число появлений события,n – общее число испытаний. Отличие вероятности от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

14 Пример: При бросании игральной кости A – появление 1: P(А)=1/6, но не обязательно равняется 1/6. При малом числе опытов частота события непредсказуема, случайна. Однако при большом числе опытов n частота все более теряет свой случайный характер, она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Оказалось, что это постоянная величина есть вероятность появления события.