Интересная производная

Цели данной работы: Рассмотреть применение производной в различных науках Познакомиться с учёными изучавших производную функции Развить интерес к предмету на основе дополнительной информации

Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни? «Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»

Г. Лейбниц И. Ньютон Р. Декарт Г.Галилей Ж. ЛагранжЛ. Эйлер

Задача по химии: Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество в-ва в момент времени t 0 p = p(t 0 )Функция Интервал времени t = t– t 0 Приращение аргумента Изменение количества в-ва p= p(t 0 + t ) – p(t 0 ) Приращение функции Средняя скорость химической реакции p/t Отношение приращёния функции к приращёнию аргумента V (t) = p (t) Решение:

Задача по биологии: По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Решение: Понятие на языке биологии ОбозначениеПонятие на языке математики Численность в момент времени t 1 x = x(t) Функция Интервал времени t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение численности популяции x = x(t 2 ) – x(t 1 ) Приращение функции Скорость изменения численности популяции x/t Отношение приращения функции к приращению аргумента Относительный прирост в данный момент Lim x/t t 0 Производная Р = х (t)

Задача : Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.t.

Решение: Пусть у=у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за t=t-t 0 y=k y t, где к=к р – к с –коэффициент прироста (к р – коэффициент рождаемости, к с – коэффициент смертности) y/ t=k y При t 0 получим lim y/ t=у у=к у

Задача. Вычислить количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 градусов до t градусов (по Цельсию). Теплота

Решение Пусть Q=Q(t). Рассмотрим малый отрезок [t; t+ t], на этом отрезке Q=c(t) t c(t)= Q/ t При t 0 lim Q/ t =Q(t) t 0 c(t)=Q(t)

Алгоритм отыскания производной (для функции y=f(x)) Зафиксировать значение x, найти f(x). Дать аргументу x приращение Dx, (перейти x+Dx в новую точку), найти f(x+Dx ). Найти приращение функции: Dy= f(x+Dx )-f(x) Составить отношение приращения функции к приращению аргумента Вычислить предел этого отношения (этот предел и есть f `(x).)

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

? Значит изучать производную нам нужно!