Основы механики жидкостей и газов

Максвелловское распределение молекул по их скоростям и энергиям 1) Возьмем идеальный газ. В результате столкновений молекул газа, их скорости все время изменяются, но в газе создается некоторое стационарное распределение молекул по их скоростям. Пусть температура газа T = 300K. Интервал скоростей Доля молекул, имеющих скорости в заданном интервале Эта таблица называется - распределением молекул по скоростям. Из этого распределения видно, что существует какая-то наиболее вероятная скорость

2) Максвелл в 1860 г. получил формулу, которая описывает распределение молекул по скоростям: Максвелловское распределение молекул по их скоростям где n – число молекул в единице объема, dn – число молекул в единице объема, имеющих скорость в интервале от v до v + dv, m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, T – температура. 3) Построим кривые Максвелла для двух температур ( ). Физический смысл кривой Максвелла: - число молекул, имеющих скорости в единичном интервале скоростей. Возьмем узкую полоску, которую можно считать прямоугольной. Ее площадь равна :. Тогда площадь под всей кривой Максвелла равна n.

4) Для того, чтобы придать вероятностный характер распределению Максвелла, введем новую функцию : - функция распределения Максвелла молекул по их скоростям. График этой функции имеет аналогичный вид, но теперь площадь под кривой равна 1. - имеет смысл вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от до. Согласно определению функции имеем откуда видно, что - плотность вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от до. Это очень важная величина в теории вероятности, позволяющая вычислять среднее значение любой физической величины, являющейся функцией скорости

5) От распределения молекул по скоростям можно перейти к распределению молекул по их кинетической энергии. Для этого надо в распределении молекул по скоростям выразить и через и. Производя вычисления, получим Максвелловское распределение молекул по их кинетическим энергиям. Аналогично вводится : - функция распределения Максвелла молекул по их энергиям

Характерные скорости молекул идеального газа. 1) - наиболее вероятная скорость молекул Это скорость молекул, при которой функция распределения имеет максимум. Возьмем производную от, и приравняв ее нулю, получим уравнение для нахождения : - наиболее вероятная скорость молекул 2) - средняя квадратичная скорость молекул. Для нахождения можно воспользоваться выражением для средней кинетической энергии поступательного движения молекул или вычислить интеграл - средняя квадратичная скорость молекул

3) - средняя арифметическая скорость молекул. - средняя арифметическая скорость молекул Воспользовавшись соотношением, формулы для характерных скоростей молекул можно представить в виде - наиболее вероятная скорость молекул, - средняя квадратичная скорость молекул, - средняя арифметическая скорость молекул

Распределение Больцмана молекул по их потенциальным энергиям Если газ находится во внешнем силовом поле, то частицы газа обладают потенциальной энергией п. Рассмотрим распределение молекул идеального газа по высоте в однородном гравитационном поле. В этом случае для газа имеет место барометрическая формула:, где - давление газа на поверхности Земли, - давление газа на высоте h. С учетом того, что получим распределение молекул по высоте в однородном гравитационном поле:. Больцман показал, что полученное распределение применимо к идеальному газу, находящемуся в любом силовом поле: - распределение Больцмана молекул по их потенциальным энергиям

Если идеальный газ находится в силовом поле, то реализуются, вообще говоря, оба распределения: распределение Максвелла молекул по их кинетическим энергиям и распределение Больцмана молекул по их потенциальным энергиям. Для этого надо объединить оба распределения: - распределение Максвелла, - распределение Больцмана, В результате получим распределение Максвелла-Больцмана.

ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушении равновесия, носит название физической кинетики. При нарушении равновесия система стремится вернуться в равновесное состояние. При нарушениях равновесия в телах возникают потоки тепла, либо массы, электрического заряда и т.п. В связи с этим соответствующие процессы носят название явлений переноса. Причиной любого явления переноса является наличие градиента некоторой физической величины. Мы рассмотрим три явления переноса в газах – теплопроводность, диффузию и внутреннее трение или вязкость. Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.

. Поместим мысленно центр одной из молекул в начало координат, а центр второй молекулы представим перемещающимся по оси r. Пусть вторая молекула летит по направлению к первой из бесконечности, имея начальный запас кинетической энергии к= 1. Приближаясь к первой молекуле, вторая молекула под действием силы притяжения движется со всёвозрастающей скоростью. В результате кинетическая энергия к молекулы растёт, а потенциальная п одновременно уменьшается, но их сумма = к+ п = const остаётся неизменной. При прохождении молекулой точки с координатой ro силы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекула начнёт быстро терять скорость (в области отталкивания кривая п идёт круто вверх). В момент, когда потенциальная энергия п становится равной полной энергии системы 1, скорость молекулы обращается в нуль. В этот момент имеет место наибольшее сближение молекул друг с другом. После остановки молекулы все явления протекают в обратной последовательности. Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Величина = d2 называется эффективным сечением молекулы. Как видно из рисунка, эффективный диаметр молекул зависит от их энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул уменьшается.

Длина свободного пробега молекулы – это путь l, который молекула проходит между двумя последовательными соударениями. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости. Если за секунду она претерпевает в среднем z столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна За секунду молекула проходит путь, равный. Число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины и радиуса d. Относительная скорость движения двух произвольно взятых молекул равна Возведя в квадрат это выражение, получим

Тогда, для среднего числа столкновений за секунду получим выражение а для средней длины свободного пробега следующую формулу Если концентрацию газа определить из соотношения P = nkT, получим другую формулу для средней длины свободного пробега

Теплопроводность газов Рассмотрим газ, в котором каким-то способом поддерживается непостоянство температуры вдоль направления, которое мы обозначим буквой x. Представим мысленно площадку площадью S, перпендикулярную к этому направлению. В этом случае через площадку S возникает поток тепла, величина которого определяется формулой: где - градиент температуры, т.е. величина, показывающая, как быстро изменяется температура в направлении оси х, (каппа) – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды и называемый коэффициентом теплопроводности. Знак минус в формуле отражает то обстоятельство, что тепло течёт в направлении убывания температуры. Эта формула называется уравнением теплопроводности или законом Фурье. Выражение для коэффициента теплопроводности через молекулярно-кинетические параметры газа:

Диффузия в газах Предположим, что в единице объёма двухкомпонентной газовой смеси содержится n1 молекул одного вида и n2 молекул другого вида. Полное число молекул в единице объёма равно n = n1 + n2. Допустим, что в направлении оси х создаются градиенты концентраций причём. Тогда,, так что n, а, следовательно, и Р постоянны (в силу Р = nkT). В этом случае газодинамических потоков не возникает. Однако вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания её концентрации. Этот процесс носит название диффузии. Диффузия наблюдается так же в жидких и твёрдых телах. Поток молекул i – го вида через перпендикулярную к оси х поверхность S определяется выражением где D – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии. Знак минус указывает на то, что поток молекул направлен в сторону убывания концентрации. Умножив обе части этого равенства на массу молекулы i – го вида mi, получим выражение для потока массы i – ой компоненты: Эти формулы представляют собой эмпирические уравнения диффузии. Их называют уравнением Фика.

Вязкость газов Сила трения между двумя слоями жидкости может быть вычислена по формуле где - коэффициент вязкости, - градиент скорости, т.е. величина, показывающая, как быстро изменяется скорость жидкости или газа в направлении х, перпендикулярном к направлению движения слоёв, S – величина поверхности, по которой действует сила F. Это уравнение и есть эмпирическое уравнение вязкости. Согласно второму закону Ньютона, взаимодействие двух слоёв с силой F можно рассматривать как процесс, в ходе которого от одного слоя к другому передаётся в единицу времени импульс, по величине равный F. Поэтому уравнение вязкости можно представить в виде где К- импульс, передаваемый за секунду от слоя к слою через поверхность S. Следовательно, величину К можно рассматривать как поток импульса через поверхность S. Знак минус в этой формуле обусловлен тем обстоятельством, что импульс течёт в направлении убывания скорости u. коэффициент вязкости должен расти с температурой пропорционально.