Теория размерностей или как легко выводить и вспоминать физические формулы Что такое физические формулы? Уравнения связывающие различные физические величины Как связывает 2-ой закон Ньютона силу(F), массу тела (m) и его ускорение (a)? Если рядом нет Ньютона и учебника, то нам поможет теория размерностей Что такое размерность физической величины? Примеры? Это название единиц массы, длины, времени, и др. единиц измерения и их комбинации. Примеры: кг, м/сек, кулон и т.д Справа и слева в физических уравнениях стоят размерные величины, и поэтому размерность левой части формулы должна равняться размерности правой части формулы - это и есть теория размерностей например, если размерность левой части м. кг, то и размерность правой части формулы тоже должна быть м. кг

Справа и слева в уравнениях стоят размерные величины, и поэтому размерность левой части формулы должна равняться размерности правой части формулы (теория размерностей) Будем обозначать размерность: м-[м]м-[м] c-[c]c-[c] кг-[кг] м2-[м]2м2-[м]2 м/с-[м]. [c] -1 кг. м/с 2 -[кг]. [м]. [c] -2 и т.п. Вернёмся ко 2-му закону Ньютона, и пусть мы действительно ВСЁ забыли, но помним, что: Найдём значения для альфы и беты с помощью теории размерностей!!!

Вспоминаем закон Ньютона с помощью теории размерностей Какая размерность левой части? [Н] = [кг]. [м]. [c] -2 Какая размерность правой части? Приравнивая размерности левой и правой части, получаем: откуда следует, что:

Задача на дом Попробуйте с помощью теории размерностей вывести формулу для потенциальной энергии (W) тела массой m, поднятого на высоту h: W=mgh, если известно, что энергия имеет размерность [кг]. [м] 2. [c] -2

Как с помощью теории размерностей вывести формулу для периода колебания маятника? Очевидно, что период колебаний, T зависит как-то от длины маятника, L, массы, m и ускорения свободного падения, g (ведь в невесомости маятники не колеблются) Пусть период колебаний, T зависит от длины маятника, L, его массы, m и ускорения свободного падения, g в виде степенной функции: Тогда из теории размерностей следует, что: и возникает следующая система уравнений:

Почему тяжелоатлеты выступают в разных весовых категориях? Почему сила человека зависит от его массы?

Рекорды Европы в «жиме» на 1 января 2003 в различных весовых категориях кг Весовая категория до Взятый вес, в кг y=10. x 2/3

Максимальная сила (F), развиваемая мышцей, пропорциональна площади её поперечного сечения (S) А Б скелетная мышца поперечное сечение, разрез по А-Б F = 50S Н S Используем теорию размерности, чтобы найти формулу, связывающую массу мышцы (M) и площадь её поперечного сечения (S)

Как вычислить площадь поперечного сечения мышцы, если известна её масса? Как вычислить площадь поперечного сечения мышцы, если известен её объём, V ? Используем теорию размерностей Найдём альфу, приравняв размерности левой и правой части: Так как то после подстановки получаем окончательное выражение для зависимости S от M :

Максимальная сила (F), развиваемая мышцей, пропорциональна площади её поперечного сечения (S) А Б скелетная мышца поперечное сечение, разрез по А-Б F =50S Н S Так как, то Мы решили задачу биомеханики методом теории размерностей!

Зависимость силы спортсмена от его массы (рекорды Европы в «жиме» на 1 января 2003 в различных весовых категориях ) кг Масса спортсмена, M Сила в жиме, F F=10. M 2/3

Всегда ли теория размерностей может помочь вывести или вспомнить формулу? К сожалению, не всегда! В механике, например, всего ТРИ независимые единицы измерения: секунда, метр и кг. Поэтому, приравнивая размерности левой и правой части формулы, мы получаем систему из трёх уравнений, которая может помочь получить нам искомую формулу только, если количество неизвестных не больше ТРЁХ. Пусть, например, мы ищем формулу для зависимости периода обращения, T искусственного спутника массой m вокруг Земли с массой M, радиусом орбиты R и гравитационной постоянной G: Если приравнять размерности левой и правой частей, то мы получим ТРИ уравнения (одно для м, одно для кг и одно для сек ), а неизвестных у нас ЧЕТЫРЕ. Значит, найти альфу, бету, гамму и дельту нам не удастся с помощью теории размерностей. Теория размерностей становится бессильной, когда требуется определить зависимость от какого-либо безразмерного параметра (например, найти, как зависит дальность броска от угла к горизонту)

Почему почему прыгунов в высоту не взвешивают перед соревнованиями? Высота прыжка пропорциональна кинетической энергии спортсмена в момент его отрыва от земли Как зависит максимальная энергия спортсмена от его массы? Зависит ли высота прыжка от массы спортсмена? Задача на дом