Формулы площади треугольника билет 2

Площадь треугольника Определение : Для треугольника площадью называется положительная величина с такими свойствами : Если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Равные треугольники имеют одну и ту же площадь.

S =½*a*b Лемма : Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. А D Дано: ABC- треугольник АС= b BC=a S =½*a*b Доказать: Доказательство: 1)Д.П. CADB- прямоугольник 2) S(CADB)=a*b 3)S(ACB)=1 /2 *S(ADBC)=½*a*b

S =½*a*b Теорема : Площадь произвольного треугольника равна произведению любой из сторон на высоту, проведённый к этой стороне. I случай ( Прямоугольный треугольник ) CB- основание AC- высота S(ACB)=½*CB*AC( по лемме )

S =½*h*b II случай (ABC- остроугольный треугольник ) Дано: ABC- о/у треугольник AH- высота Доказать: S(ABC)=½*AH*BC Доказательство: 1) S(ABH)=1 /2* BH*AH 2)S(AHC)=1 /2 *HA*HC 3)S(ABC)=S(ABH)+S(AHC)=1 /2* BH*AH+ 1/2 *A H*HC=1 /2* AH(BH+HC)= ½* AH*BC

S =½*h*b III случай ( Тупоугольный треугольник ) A BCH Дано: АВС - т/у тр-к АН - высота Доказать: S(ABC)=½ * AH*BC Доказательство: 1) S(AHC)= 1/2*АН*НС 2) S(AHD)= 1/2*АН*НВ 3) S(ABC)=S(AHC)-S(AHB)= 1 /2* AH*HC-1 /2*АН*НВ=1/2*АН*(НС- НВ)= ½*АН*ВС

S =½*b*c*sin α Теорема : Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. c Дано: ABC- треугольник CB=a ; AB=c ;

S =½*P*r Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. Дано: ABC -треугольник со сторонами a, b, c ; окр( O,r ) ; OF,OH,OE- высоты; BO,AO- биссектрисы Доказать: S(ABC)=½*P*r Доказательство: 1)Д.П. ОС 2) S(AOB)=½*OF*AB 3)S(AOC)=½*OE*AC 4)S(BOC)=½*OH*BC 5)S(ABC)=S(AOB)+S(AOC)+S(BOC)= =½*OF*(a+b+c)=½*P(ABC)*r= =p(ABC)*r Следствие: Площадь любого многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности.

S =(a*b*c)/4R Дано : ABC- треугольник со сторонами a,b,c Доказать : S(ABC)=(a*b*c)/4R Доказательство : 1) S(ABC)=½*AB*AC*SinA 2) Д. П. BD- диаметр ; CD 3) BCD- п / у 4) SinD=SinA=BC/BD 5) S(ABC)=½*(c*b*a)/2R=(a*b*c)/4R Теорема: Площадь треугольника равна отношению произведения сторон к произведению четырёх радиусов описанной окружности.

Формулы площади треугольника S=½*a*b – площадь прямоугольного треугольника S=½*a*h a - половина произведения стороны на высоту проведённой к этой стороне S=½*b*c*Sin A – полвина произведения 2-х сторон на синус угла между ними S=p*r – произведение полупериметра на радиус вписанной окружности S=(a*b*c)/4R – отношение произведения сторон к 4м радиусам описанной окружности S= p*(p-a)*(p-b)*(p-c) – теорема Герона S=(a 2 * 3)/4 – площадь равностороннего треугольника

ВСЁ !!! Презентацию подготовил: Масленников Дмитрий Преподаватель : Васина Г.С.