Элементы векторной алгебры.

Определение Совокупность всех направленных отрезков, для которых введены операции: - сравнения - сложения - умножения на вещественное число называется множеством векторов. Конкретный элемент этого множества будем называть вектором и обозначать символом с верхней стрелкой, например

Определения Отрезок прямой, концами которого служат лежащие на ней точки A и B, называется направленным отрезком, если указано, какая из этих двух точек является началом и какая - концом отрезка. Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Действия с направленными отрезками Определение: Два ненулевых и направленных отрезка и при называются равными, если они -лежат на параллельных прямых; -точки B и D лежат по одну сторону от прямой, проходящей через точки A и C; -имеют равные длины, т.е.

Сложение векторов по правилу треугольника +

Обобщение правила треугольника на любое число слагаемых носит название правила замыкающей (правило многоугольника)

Операция сложения направленных отрезков может быть выполнена по правилу параллелограмма

Разностью - направленных отрезков называется направленный отрезок, удовлетворяющий равенству =+. Для того, чтобы построить разность векторов можно построить сумму векторов и (- ) Любой направленный отрезок при сложении с нулевым не изменяется.

При умножении вектора на число λ получается вектор, длина которого равна

Операции сложения и умножения на вещественное число на множестве векторов обладают свойствами: 1. Коммутативности 2. Ассоциативности 3. Дистрибутивности для любых векторов и любых вещественных чисел и.

Определение. Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов.

Линейная зависимость векторов Определение. Выражение вида, где некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов

Линейная зависимость векторов Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация Определение. Векторы называются линейно независимыми, если из условия следует тривиальность линейной комбинации такая, что

Свойства линейно независимых векторов 1. Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой. 2. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны. 3. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны. Если среди векторов имеется подмножество линейно зависимых, то и все векторы линейно зависимы. Если среди векторовимеется хотя бы один нулевой, то векторы линейно зависимы.

Базис в пространстве векторов Определение: Базисом в пространстве векторов называется набор линейно независимых векторов

Определение Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов. Определение Базис называется ортогональным, если образующие его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны). Определение Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют единичную длину.

Координаты вектора: Пусть дан базистогда любой векторв пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде где- некоторые числа (коэффициенты разложения), которые называют координатами данного вектора в заданном базисе.

Координаты вектора: Для записи вектора в координатном представлении используются формы:

Операции с векторами в координатном представлении: Сравнение векторов: Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты Сложение векторов : При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются. Умножение вектора на число: При умножении вектора на число, на это число умножаются все координаты вектора.

Условия линейной зависимости и независимости векторов в координатном представлении Для того чтобы два вектора на плоскости были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты в некотором базисе удовлетворяли условию

Условия линейной зависимости и независимости векторов в координатном представлении Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты в некотором базисе удовлетворяли условию

Замечание: Равенства и соответственно являются необходимыми и достаточными условиями коллинеарности пары векторов на плоскости и компланарности тройки векторов в пространстве.

Декартова система координат. Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат. 1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. Будем обозначать векторы базиса.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве

Основные формулы: Если заданы точки А(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ), то координаты вектора определяются по формуле: = (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ). Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ), то:

Основные формулы: Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, считая от А, то координаты этой точки определяются как: В частном случае координаты середины отрезка находятся как: x = (x 1 + x 2 )/2; y = (y 1 + y 2 )/2; z = (z 1 + z 2 )/2.

Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. = cos Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то = x a x b + y a y b + z a z b ;

Формула для вычисления угла между векторами:

Свойства скалярного произведения векторов 1) = 2 ; 2) = 0, если или = 0 или = 0. 3) = ; 4) ( + ) = + ; 5) (m ) = ( m) = m( ); m=const

Векторное произведение векторов. Три некомпланарных вектора взятые в указанном порядке образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки, и левую - если по часовой.

Правая тройкаЛевая тройка

Векторное произведение векторов. Векторным произведением векторов и называется вектор удовлетворяющий следующим условиям: 1) где - угол между векторами 2) вектор ортогонален векторам и 3) образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов: Обозначается:или Геометрическим смыслом длины векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах

Свойства векторного произведения векторов: 1) ; 2), если или = 0 или = 0; 3) (m ) = (m ) = m( ); 4) ( + ) = + ;

Векторное произведение векторов Если заданы векторы (x a, y a, z a ) и (x b, y b, z b ) = в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами, то

Смешанное произведение векторов. Определение. Смешанным произведением векторов, и называется число, равное скалярному произведению векторана вектор, равный векторному произведению векторов и Обозначается или (,, )

Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,,

Свойства смешанного произведения векторов. 1)Смешанное произведение равно нулю, если: а) хоть один из векторов равен нулю; б) два из векторов коллинеарны; в) векторы компланарны. 2) 3) 4) 5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами,, равен

Свойства смешанного произведения векторов: 6) Если, то

2. Альтернативные системы координат Полярная система координат

Определение Положение точки на плоскости в этой системе координат задается парой упорядоченных чисел, где,, удовлетворяющих ограничениям. Положение точки на плоскости в этой системе координат задается парой упорядоченных чисел, где,, удовлетворяющих ограничениям. Точка O называется полюсом, а луч OP - полярной осью. Угол отсчитывается против часовой стрелки. Для полюса этот угол не определяется. Точка O называется полюсом, а луч OP - полярной осью. Угол отсчитывается против часовой стрелки. Для полюса этот угол не определяется., Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к полярной и обратно: y O P x

Пример 1 Окружность единичного радиуса с центром в начале координат, имеющая в ортонормированной декартовой системе координат уравнение в полярной системе координат задается условием

Сферическая система координат Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел, где Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел, где которые удовлетворяют ограничениям z M(,, ) P y O x

Формулы перехода между ортонормированной декартовой системой координат и сферической имеют следующий вид: Формулы перехода между ортонормированной декартовой системой координат и сферической имеют следующий вид: и, для обратного перехода, и, для обратного перехода,

Цилиндрическая система координат Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел, где Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел, где,, удовлетворяющие ограничениям,, удовлетворяющие ограничениям z h M(,,z) O P x y

Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к цилиндрической и обратно имеют следующий вид: Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к цилиндрической и обратно имеют следующий вид:

Примеры кривых, уравнения которых записаны в полярной системе координат

Логарифмическая спираль Логарифми́ческая спира́ль или изогональная спираль особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль». В полярных координатах кривая может быть записана как: либо в параметрической форме:

Астроида Астроида плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида это гипоциклоида с модулем m = 4. Уравнение в декартовых прямоугольных координатах: | x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R 2 / 3 параметрическое уравнение: x = Rcos3t y = Rsin3t

Декартов лист Декартов лист плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x 3 + y 3 = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли. В прямоугольной системе по определению: В полярной системе:

Кардиоида Кардио́ида (греч. καρδία сердце, греч. ε δος вид) плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. В прямоугольных координатах: В прямоугольных координатах (параметрическая запись): x = a(2cost cos2t) y = a(2sint sin2t) В полярных координатах:

Лемниската Бернулли Лемниска́та Берну́лли геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами. в прямоугольных координатах: в полярных координатах:

Полукубическая парабола Полукубическая парабола, или парабола Нейла плоская алгебраическая кривая, описываемая уравнением y 2 =ax 3 Параметрическое уравнение:

Спираль Архимеда Архимедова спираль спираль, плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ. в полярной системе координат:

Строфоида Строфоида (от греч. στροφή поворот) алгебраическая кривая 3-го порядка. в прямоугольной системе координат: в полярной системе координат:

Эллипс Э́ллипс (др.-греч. λλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух выделенных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами) постоянна, то есть | F 1 M | + | F 2 M | = 2a Уравнение эллипса в полярных координатах: