УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ - УПИ ИННОВАЦИОННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА

Компьютерное моделирование процессов массопереноса в реакторных материалах ЛЕКЦИЯ 2 «Основные математические операции в компьютерном моделировании (КМ) и вычислительных методах физики (ВМФ)» Лектор: Купряжкин Анатолий Яковлевич Авторы курса: А.Я. Купряжкин, К.А. Некрасов

3 Цель лекции: Знакомство с методами численного дифференцирования, интегрирования, нахождения корней уравнения.

4 Основные математические операции в КМ и ВМФ: ПЛАН ЛЕКЦИИ: Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Нахождение корней уравнения: Метод шагового поиска. Метод Ньютона – Рафсона. Метод секущих

5 Численное дифференцирование Задача ЧД формулируется следующим образом: рассчитать приближенное значение, используя известные значения (см. рис.).

6 Разложим функцию f (x) в ряд Тейлора вблизи x=0 Тогда Численное дифференцирование

7 Будем считать, что функция f и все ее производные являются величинами одного порядка. Вычитая из, получим В этом соотношении первый член дает конечно-разностную аппроксимацию искомой производной. Пренебрегая вторым и последним членами, получим приближенную формулу, называемую «3-х точечной» формулой Численное дифференцирование

Это выражение дает точное значение производной в случае, когда f на интервале [-h;h] является полиномом второй степени, то есть все производные высших степеней равны нулю. Последняя формула дает более точное значение производной, чем формулы, использующие обычное приближение Эйлера, в основе которых лежит предположение о линейной аппроксимации функции на интервале между x=0 и. Численное дифференцирование

9 Численное интегрирование Для вычисления значения определенного интеграла на отрезке от a до b (см. рис. ЧД ) определяют равномерную сетку с шагом h, так чтобы было целым четным числом. Получив формулу вычисления интеграла на интервале длиной 2h в пределах от –h до +h, можно использовать ее для вычисления определенного интеграла на всем отрезке от а до b

10 Основная идея методов численного интегрирования заключается в приближенной замене функции f между –h и +h некоторой другой функцией, которая может быть точно проинтегрирована на этом отрезке. Численное интегрирование

11 Простейшее приближение (выполнить самостоятельно) Заключается в разбиении отрезка [– h;h] на два участка [–h;0] и [0; h] и принятии для этих участков линейной аппроксимации. В этом случае мы получим формулу метода трапеций.

12 Более точное приближение можно получить, если использовать разложение f в ряд Тейлора и подставить выражение для первой и второй производных (выполнить самостоятельно)

13 Последнее выражение называется формулой СИМПСОНА. Ее точность на два порядка выше точности формулы трапеций. Кроме того, ошибка интегрирования по формуле Симпсона меньше той, которую следовало бы ожидать от разложения Тейлора. Формулы более высокого порядка можно получать, оставляя больше членов в разложении f, используемом для интерполяции f между узлами сетки. Поскольку в квадратурные формулы при ЧИ все значения f входят с одинаковым знаком, в отличие от численного дифференцирования численное интегрирование устойчиво, результат стремится к определенному пределу по мере роста N и уменьшения шага сетки h. Формула Симпсона

14 Анализ особенностей исходного интеграла в методах ЧИ: Верхний предел интегрирования очень большой. Подынтегральные функции имеют интегрируемые расходимости. Учет наличия у функции интегрируемой особенности.

15 Верхний предел интегрирования очень большой. Рассмотрим интеграл, в котором с ростом x функция стремится к константе. Для случая когда вычисление интеграла по формуле Симпсона дает очень медленную сходимость. Если сделать замену переменной, интеграл принимает вид и легко вычисляется.

16 Подынтегральные функции имеют интегрируемые расходимости. В интеграле имеется особенность в точке x=1 ( g – непрерывная функция). Правильный результат можно получить после замены переменной. Тогда

17 Учет наличия у функции интегрируемой особенности. Если такая особенность имеется вблизи одной из границ интервала (например, 0 ), то вычисляемый интеграл целесообразно разбить на две части Пусть f (x) спадает вблизи нуля как ( c– константа), на интервале от h до 1 расходимостей не имеет. Тогда интеграл на этом отрезке может быть легко вычислен, а вклад интеграла от 0 до h приближенно можно учесть членом.

18 Нахождение корней уравнения Метод шагового поиска Метод шагового поиска является одним из возможных способов нахождения корня уравнения f (x)=0, когда его величина приблизительно известна. Алгоритм поиска заключается в следующем.

19 Метод шагового поиска Алгоритм поиска Выбирается начальное пробное значение x, меньшее корня. Затем, увеличивая это значение, необходимо провести расчеты f (x), проверяя каждый раз значение f (x) в новой точке. Когда f (x) меняет знак, происходит возврат назад на один шаг, после чего величина шага уменьшается в два раза, и процесс повторяется. Когда длина шага становится меньше погрешности, с которой необходимо определить положение корня, вычисления прекращаются. Число итераций, необходимых для нахождения корня, определяется задаваемой погрешностью. Если исходный шаг выбран слишком большим, можно пропустить исходный корень.

20 Нахождение корней уравнения Метод Ньютона – Рафсона Метод может быть реализован в случае, когда для произвольной точки x возможно вычисление как функции f (x), так и ее производной, и можно предположить, что вблизи корня функция f (x) ведет себя как линейная.

21 Последовательность может быть рассчитана, исходя из определения производной в точке (см. рис.).

22 Основным неудобством в методе является необходимость вычисления производной. Этого неудобства можно избежать в методе секущих. Вывод по методу Ньютона – Рафсона

23 Нахождение корней уравнения Метод секущих Метод секущих заключается в замене производной, рассчитываемой по формуле метода Ньютона – Рафсона выражением В результате последовательность может быть рассчитана по формуле (см. рис.).

24 Выводы по методу секущих Если исходные точки выбраны достаточно близко к искомому корню, то скорость сходимости метода секущих приближается к скорости метода Ньютона – Рафсона. Если вблизи значения функция имеет точку перегиба или несколько близких корней, сходимость в указанных методах может отсутствовать. Более надежная процедура заключается в том, что вначале используется алгоритм шагового нахождения для приближенного определения и лишь затем переходят к одному из «автоматических» алгоритмов (Ньютона – Рафсона или секущих).

25 Основные выводы по лекции Таким образом изложенные численные методы позволяют с заданной точностью численное дифференцирование, интегрирование и нахождение корней уравнений f (x)=0. Необходимым условием получения правильного результата является анализ особенностей поставленных задач и выбор соответствующего численного метода.

26 Список литературы к лекции 2 Гулд Х. Компьютерное моделирование в физике / Х. Гулд, Я. Тобочник. ч. 1, М.: Мир, с. Кунин С.Е. Вычислительная физика / С.Е. Кунин М.: Мир, с.

27 Спасибо за внимание!

28 Вопросы?