Функции и их графики Автор: Елена Юрьевна Семенова b x y α 0 x y c x1x1 x2x2 xвxв увув 0x y x y 0 x y 0 x y 0 МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Содержание Функции и их графики. Преобразование графиков функций. Свойства функций.

Функции. Линейная функция Квадратичная функция Степенная функция Обратная пропорциональность Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические функции

Линейная функция y = kx + b k – угловой коэффициент k = tg α b – свободный коэффициент b x y α 0 Свойства линейной функции

Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c, а 0 x y 0 c x1x1 x2x2 xвxв увув Свойства квадратичной функции

Степенная функция y = x n x y 0 y = x n, где n = 2k, k Z y = x n, где n = 2k +1, k Z Свойства степенной функции 1 1

Обратная пропорциональность 0x y Свойства обратной пропорциональности y =, k > 0 k k x x y =, k < 0 k k x x

Степенная функция y = x -n, n – четное 0x y Свойства степенной функции y = 1 1 x2x2 x2x2

0x y Свойства степенной функции y = 1 1 x3x3 x3x3 Степенная функция y = x -n, n – нечетное

Показательная функция x y y = a x, а > 0, a 1 y = a x a > 1 y = a x a > 1 y = a x 0 < a < 1 y = a x 0 < a < Свойства показательной функции

Логарифмическая функция y = log a x a > 1 y = log a x a > 1 x y y = log a x 0 < a < 1 y = log a x 0 < a < y = log a x, а > 0, a 1 Свойства логарифмической функции

Тригонометрические функции y = sin x и y = cos x y = sin x x y 0 1 y = cos x Свойства функции y = sin xСвойства функции y = cos x

Тригонометрические функции y = tg x и y = ctg x 0 1 Свойства функции y = tg xСвойства функции y = ctg x y = tg x у ππ2π2π2π x

Геометрические преобразования графиков Преобразование вида y = f(x)+ b Преобразование вида y = f(x)+ b Преобразование вида y = f(x – a) Преобразование вида y = f(x – a) Преобразование вида y = kf(x) Преобразование вида y = kf(x) Преобразование вида y = f(mx) Преобразование вида y = f(mx) Преобразование вида y = |f(x)| Преобразование вида y = |f(x)| Преобразование вида y = f(|x|) Преобразование вида y = f(|x|) Преобразование вида |y|= f(x) Преобразование вида |y|= f(x)

1. Преобразование вида y = f(x)+b Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат Если b > 0, то происходит смещение Если b < 0, то происходит

1. Преобразование вида y = f(x)+b x y 0 b y = x 2 y = x 2 + b

2. Преобразование вида y = f(x – a) Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на а единиц вдоль оси абсцисс Если а > 0, то происходит Если а < 0, то происходит смещение

2. Преобразование вида y = f(x – a) x y 0 y = (x – a) 3 y = x 3 a

3. Преобразование вида y = kf(x) Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f(x) вдоль оси ординат Если, |k| > 1, то происходит Если, |k| < 1, то происходит Растяжение Сжатие

3. Преобразование вида y = kf(x) x y 1 1 k у = х у = k х 0

4. Преобразование вида y = f(mx) Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс Если, |m|> 1, то происходит Если, |m|< 1, то происходит Растяжение Сжатие

4. Преобразование вида y = f(mx) 0x y 1 1 y = x 2 y = (mx) 2

5. Преобразование вида y = |f ( x ) | Это отображение нижней части графика функции y = f(x) в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением верхней части графика y = |f(x)| y = f(x) х у 0

5. Преобразование вида y = |f ( x ) | x y 0 y = kx + b y = |kx + b|

6. Преобразование вида y = f (|x|) Это отображение правой части графика функции y = f(x) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика y = f (|x|) х у y = f(x) 0

6. Преобразование вида y = f (|x|) 0x y у = k k |x| у = k k x x

Это отображение верхней части графика функции y = f(x) в нижнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением только верхней части графика |y| = f(x) y = f(x) х у 0 7. Преобразование вида |y|= f ( x )

x y 0 y = kx + b |y|= kx + b

Свойства функций Свойства линейной функции Свойства квадратичной функции Свойства степенной функции Свойства обратной пропорциональности Свойства показательной функции Свойства логарифмической функции Свойства тригонометрических функций: y = sin xy = sin x y = tg xy = tg x y = cos x y = ctg xy = cos xy = ctg x

Свойства линейной функции 1 о D(y) = (; +); E(y) = (; +). 2 о Если b = 0, то функция нечетная. Если b 0, то функция ни четная, ни нечетная. 3 о Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х =. 4 о Если k > 0, то функция возрастает при х(; +). Если k < 0, то функция убывает при х(; +). k b y = kx + b

Свойства квадратичной функции 1 о D(y) = (; +). 2 о Если a > 0, то E(y) = [у в ; +); Если a < 0, то E(y) = (; у в ]. 3 о Если b = 0, то функция четная. Если b 0, то функция ни четная, ни нечетная. 4 о Если х = 0, то у = c, если у = 0, то х 1,2 = 5 о Если a > 0, то функция возрастает при х[x в ; +); функция убывает при х(; х в ]. Если a < 0, то функция возрастает при х(; х в ]; функция убывает при х[x в ; +). y = ax 2 + bx + c, а 0 - b ± b 2 -4ac 2a Подробнее

Свойства степенной функции y = x n Если n = 2k, где k Z 1 о D(y)=(; +). 2 о E(y)=[0 ; +). 3 о Функция четная. 4 о Если х = 0, то у = 0. 5 о Функция возрастает при х[0 ; +); убывает при х(; 0]. Если n = 2k +1, где k Z 1 о D(y)=(; +). 2 о E(y)=(; +). 3 о Функция нечетная. 4 о Если х = 0, то у = 0. 5 о Функция возрастает при х(; +).

Свойства обратной пропорциональности 1 о D(y) = (; 0)u(0; +) 2 о E(y) = (; 0)u(0 ; +) 3 о Функция нечетная. 4 о х 0, у 0. 5 о Если k > 0, то функция убывает при х(; 0)u(0; +). Если k < 0, то функция возрастает при х(; 0)u(0; +). у = k x

Свойства степенной функции y = x -n Если n = 2k, где k Z 1 о D(y)=(; 0)U(0; +). 2 о E(y)=(0 ; +). 3 о Функция четная. 4 о Если х = 1, то у = 1. 5 о Функция возрастает при х(; 0); убывает при х(0 ; +). 6º функция ограничена снизу прямой у = 0. Если n = 2k +1, где k Z 1 о D(y)=(; 0)U(0; +). 2 о E(y)=(; 0)U(0; +). 3 о Функция нечетная. 4 о Если х = 1, то у = 1; если х = -1, то у = о Функция убывает при х(; 0);(0; +). 6º Функция не ограничена

Свойства показательной функции 1 о D(y)=(; +). 2 о E(y)=(0 ; +). 3 о Функция ни четная, ни нечетная. 4 о Если х = 0, то у = 1. 5 о Если а > 1, то функция возрастает при х(; +). Если 0 < а < 1, то функция убывает при х(; +). Подробнее y = a x, а > 0, a 1

Свойства логарифмической функции y = log a x, а > 0, a 1 1 о D(y)= (0 ; +). 2 о E(y)= (; +). 3 о Функция ни четная, ни нечетная. 4 о Если х = 1, то у = 0. 5 о Если а > 1, то функция возрастает при х(0; +). Если 0 < а < 1, то функция убывает при х(0; +). Подробнее

Свойства функции y = sin x 1 о D(y)=(; +). 2 о E(y)=[1; 1]. 3 о Функция нечетная. 4 о Если х = 0, то у = 0. 5 о Функция возрастает при Функция убывает при 6 о Подробнее π 2 π 2 х[ +2πn; +2πn]. 3π3π 2 π 2 π 2 x max = +2πn; π 2 x min = +2πn, где nZ.

Свойства функции y = cos x 1 о D(y)=(; +). 2 о E(y)=[1; 1]. 3 о Функция четная. 4 о Если х = 0, то у = 1. 5 о Функция возрастает при х[π+2πn;2πn], nZ. Функция убывает при х[2πn; Π+2πn], где nZ. 6 o x max = 2πn; x min = π+2πn, где nZ. Подробнее

Свойства функции y = tg x 1 о D(y)= где nZ. 2 о E(y)=(; +). 3 о Функция нечетная. 4 о Если х = 0, то у = 0. 5 о Функция возрастает при х где nZ. 6 o Экстремумов нет. π 2 π 2 ( +πn; +πn), π 2 π 2 Подробнее

Свойства функции y = ctg x 1 о D(y)=(πn; π+πn), где nZ 2 о E(y)=(; +). 3 о Функция нечетная. 4 о х 0; у = 0 если х, где nZ. 5 о Функция убывает при х(πn; π+πn), где nZ. 6 o Экстремумов нет. π 2 = +πn Подробнее