1 Спецификация Уравнения Регрессии: Выбор Функциональной Формы

2 Выбор функциональной формы должен базироваться на экономической теории и лишь в исключительных случаях – на подборе формы, наилучше соответствующей выборке.

3 Линейный регрессионный анализ применим только к уравнениям линейным по коэффициентам. Т.е. коэффициенты входят в уравнение в простейшей форме – они не возведены в степень, не умножены и не разделены друг на друга, не содержат функций.

4 Общий вид линейного уравнения регрессии: f(Y)= β 1 + β 2 *g 2 (X 2 ) +… + β k *g k (X k ) + u, где f(), g 2 (), …, g k () – какие-то функции.

5 Примеры. (ЛР-линейная регрессия) 1. Y = β *X 3 +u (ЛР) 2. Y = e 1 X 2 e u (ЛР) 3. Y = β 1 X 2 u (ЛР) 4. Y = β *X β 3 + u (нет) 5. Y = β 1 X 2 + u (нет)

6 Чтобы точнее выбрать форму модели надо знать свойства основных функций.

7 Основные характеристики функциональной формы: наклон или эластичность

8 И наклон и эластичность характеризуют реакцию Y на изменения Х. Но наклон – в абсолютных единицах, а эластичность – в относительных.

9 Линейная форма Y = *X 2 + … + k *X k + u Базируется на предположении, что данному приросту независимой переменной всегда соответствует один и тот же прирост зависимой переменной: Y = j *X j (*)

10 Линейная форма Имеет постоянный наклон: Y/ X j = j.

11 Y = *X 2 + … + k *X k + u Эта форма выбирается, когда предполагаемая связь между Y и X j удовлетворяет (*):Y = j *X j. Кроме того, это форма «по умолчанию».

12 Двойная логарифмическая (log-log) форма Y = e β 1* X 2 2 * … * X k k* e u Форма приводится к линейной логарифмированием: lnY = *lnX 2 +… + k *lnX k + u

13 lnY = *lnX 2 + … + k *lnX k + u Форма используется, когда есть основания полагать, что эластичности Y по каждому X j, j =2,…, k, постоянны. Y,Xj = j. Т.е., j – эластичность Y по X j, j =1,…,k.

14 lnY = *lnX 2 + … + k *lnX k + u Интерпретация j : если X j изменяется на 1% ( и при этом все остальные X сохраняют постоянные значения), то Y изменяется в среднем на j %-в. Это также форма «по умолчанию».

15 Важный пример log-log формы – производственная функция (ПФ) Кобба-Дугласа: Y = A*K *L *e u Y – выход продукции, K – затраты капитала, L – затраты труда. (А – константа.)

16 К линейному виду приводится логарифмированием: lnY = С+α*lnK + β*lnL + u (С=lnA) α - эластичность выпуска по затратам капитала, - эластичность выпуска по затратам труда.

17 lnY = С+α*lnK + β*lnL + u Если + > 1, имеется возрастающий эффект от масштабов производства; + < 1 - убывающий; + = 1 - постоянный.

18 Полулогарифмические формы. Форма lin-log Y = β *lnX + u Используется, когда есть основания предполагать, что с ростом X влияние X на Y уменьшается, но не пропадает совсем. Интерпретация 2 : при изменении X на 1% Y изменяется на 2 /100 единиц (в которых Y измеряется ).

19 Эластичность Y по Х: т. е. падает с ростом Y. Моделирование «возрастания с убывающей скоростью».

20 Применение. Например, большинство потребительских функций. При возрастании дохода (X) все меньшая его часть идет на потребление (Y). Y = β *lnX + u

21

22 Полулогарифмические формы. Форма log-lin (экспоненциальная). lnY = *X + u Эластичность: растет с ростом Х. «Возрастание с возрастающей скоростью»

23 Интерпретация 2 : при увеличении Х на 1 единицу (измерения Х) Y изменяется на 2 *100%.

24 Применение. Например: потребительские функции для товаров роскоши. оплата труда: %-я надбавка в зависимости от стажа и опыта.

25 в регрессии Y по времени t, когда можно полагать, что Y имеет постоянный темп прироста во времени.

26

27 Y = β 1 *e 2 t *ε lnY = ln β *t + ν 2 - относительный прирост Y за единицу времени: Темп прироста Y за единицу времени равен 2 *100%.

28 Полиномиальная Форма (Парабола) Y = + 1 *X + 2 *X 2 +…+ k *X k + u При k=2: Y = + 1 *X + 2 *X 2 + u Например, моделирование зависимости цены производства (Y) от объема выпуска (X); при этом 1 0.

29

30 Моделировании зависимости годовой зарплаты человека (Y) от возраста (X); при этом 1 > 0, 2 < 0.

31 Полиномы степени k>3 применяются редко.

32 Обратная Форма Зависимости (гиперболическая) Используется при предположении, что с ростом фактора X его влияние на фактор Y сводится к нулю. Моделирование быстрого насыщения.

33

34 Пример. Моделирование потребления товаров 1-й необходимости.

35 Пример. Кривая Филлипса, описывающая взаимосвязь между уровнем безработицы в год t в процентах (U t ) и темпами прироста зарплаты в год t в процентах ( W t ): 0.

36 Естественный уровень безработицы, т. е. значение u t, при котором Δw t = 0 ΔwtΔwt UtUt ΔWt ut

37 Взаимодействие Независимых Переменных Y= *X *X *X 2 *X 3 + u Используется при предположении, что влияние X 2 на Y зависит от значения X 3, а влияние X 3 на Y – от значения X 2.

38 Проблема с R 2 Качество уравнений регрессии не может сравниваться по R 2, если зависимая переменная в них присутствует в различных функциональных формах.

39 Например, (1) Y = …….; R 1 2 (2) lnY = …….; R 2 2 Качество уравнений (1) и (2) нельзя сравнивать, сопоставляя R 1 2 и R 2 2 (если только R 1 2 >> R 2 2 или R 2 2 >> R 1 2 ).

40. Для сравнения таких моделей используют: 1. Метод Зарембки. 2. Преобразование Бокса-Кокса.

41 Метод Зарембки = b 1 + b 2 *X = c 1 + c 2 *X YX ln(Y)X ln(2)11 ln(5)10 ln(4)20

42 Вычисляют среднее геометрическое выборочных значений Y i : ( ), преобразуют переменные: Y * i = Y i / и рассчитывают новые регрессии по таблицам:

43 Y*Y* X ln(Y * )X = b 1 * + b 2 * *X * = с 1 * + c 2 * *X

44 Для этих уравнений рассчитывают RSS * 1 и RSS * 2 и модель с меньшей RSS дает лучшее соответствие линии регрессии выборке..

45 Чтобы проверить, обеспечивает ли одна модель значимо лучшее соответствие, надо вычислить величину: 2 = | (n/2)*ln(RSS * 1 / RSS * 2 )|,

46 затем по таблице распределения 2 найти 2 кр (1;α). Если 2 > 2 кр (1;α), то различие в качестве объяснения двумя уравнениями значимое.

47 Примеры интерпретации коэффициентов в логарифмических и полулогарифмических моделях

48 Двойная логарифмическая модель Выпуск сектора экономики может быть смоделирован производственной функцией Кобба-Дугласа: Y = c*K α *L β *u, где Y – выпуск в денежных единицах, К - затраты капитала в денежных единицах, L - затраты труда, например, в работниках, с – константа, α, β – параметры модели.

49 Для того, чтобы оценить по МНК модель Y = c*K α *L β *u Надо взять логарифм от обеих ее частей: lnY = ln c + α*lnK + β*ln L + ln u

50 Или: lnY = А + α*lnK + β*ln L + v. Эта модель была оценена по данным для 41 фирмы одного из секторов экономики Индии (соответственно, все денежные единицы – тысячи рупий, затраты труда – в работниках).

51 lnŶ = -0,68 + 0,41*lnK + 0,50 *ln L. Интерпретация коэффициентов наклона: - при увеличении затрат капитала на 1% и неизменности затрат труда выпуск фирмы увеличивается в среднем на 0,41%.

52 lnŶ = -0,68 + 0,41*lnK + 0,50 *ln L. Интерпретация коэффициентов наклона: - при увеличении затрат труда на 1% и неизменности затрат капитала выпуск фирмы увеличивается в среднем на 0,50%.

53 Полулогарифмическая модель (log-lin) W – почасовая зарплата в $, Е – число лет, потраченных на образование, S – число лет работы по специальности. ln W = β1 + β2*E + β2*S + u

54 ln W = β1 + β2*E + β2*S + u Модель оценивалась по данным для 420 человек: ln Ŵ = *E *S

55 ln Ŵ = *E *S Интерпретация коэффициентов: - при увеличении числа лет, потраченных на обучение, на 1 год и неизменности стажа работы почасовая заработная плата увеличивается в среднем на 0,52%.

56 ln Ŵ = *E *S Интерпретация коэффициентов: - при увеличении стажа работы на 1 год и неизменности числа лет, потраченных на обучение, почасовая заработная плата увеличивается в среднем на 1,03%.

57 Если экономический показатель Y экспоненциально растет (или убывает) во времени t, то динамика его моделируется уравнением: Y = A*e rt *v, где A и r – параметры модели, v – случайный член.

58 Y = A*e rt *v, r*100% интерпретируется как темп прироста. Для оценки модели берут логарифм от обеих ее частей: ln Y = lnA + r*t + ln v

59 Или: ln Y = a + r*t + u. Например, пусть модель оценивается по ежегодным данным для ВВП (Y) какой-то страны, выраженном в млн. $. Получается уравнение:

60 ln Ŷ = 0,12 + 0,042*t. Тогда интерпретация коэффициента при времени t следующая: ежегодный темп прироста ВВП составляет в среднем 4,2%.

61 Полулогарифмическая модель (lin-log) Модель может быть записана в виде: Y = β1 + β2*lnX + u Пусть, например, эта модель использовалась для моделирования ежемесячного спроса на бананы (Y, в кг) от среднемесячного душевого дохода (Х, в тысячах рублей) в каком- то населенном пункте.

62 Было получено уравнение: Ŷ = 1,2 + 48,8*lnX Интерпретация коэффициента наклона: - при увеличении среднедушевого месячного дохода на 1% спрос на бананы увеличивается в среднем на 0,488 кг.