Статистическая обработка данных. MathCad. Тема 7.

План темы: 1.П П оооо нннн яяяя тттт ииии ееее с с с с тттт аааа тттт ииии сссс тттт ииии чччч ееее сссс кккк оооо йййй о о о о бббб рррр аааа бббб оооо тттт кккк ииии дддд аааа нннн нннн ыыыы хххх О О пппп рррр ееее дддд ееее лллл ееее нннн ииии ееее о о о о сссс нннн оооо вввв нннн ыыыы хххх т т т т ееее рррр мммм ииии нннн оооо вввв С С тттт аааа тттт ииии сссс тттт ииии чччч ееее сссс кккк ииии ееее ф ф ф ф уууу нннн кккк цццц ииии ииии M M M M aaaa tttt hhhh CCCC aaaa dddd Ф Ф уууу нннн кккк цццц ииии ииии с с с с оооо зззз дддд аааа нннн ииии яяяя в в в в ееее кккк тттт оооо рррр оооо вввв с с с с рррр аааа зззз лллл ииии чччч нннн ыыыы мммм ииии з з з з аааа кккк оооо нннн аааа мммм ииии р р р р аааа сссс пппп рррр ееее дддд ееее лллл ееее нннн ииии яяяя В В ыыыы пппп оооо лллл нннн ееее нннн ииии ееее р р р р ееее гггг рррр ееее сссс сссс ииии ииии д д д д лллл яяяя ээээ кккк сссс пппп ееее рррр ииии мммм ееее нннн тттт аааа лллл ьььь нннн ыыыы хххх д д д д аааа нннн нннн ыыыы хххх (((( аааа пппп пппп рррр оооо кккк сссс ииии мммм аааа цццц ииии яяяя д д д д аааа нннн нннн ыыыы хххх ))))....

1. Понятие статистической обработки данных. bПbПbПbПри выполнении физических экспериментов их данные обычно представляются с той или иной случайной погрешностью, поэтому их обработка нуждается в соответствующих статистических методах. bСbСbСbС помощью системы MathCad можно проводить наиболее распространенные статистические расчеты с данными, представленными векторами их значений.

2. Определение основных терминов. bРbРbРbРаспределение случайной величины – это функция, позволяющая определить вероятность появления заданного значения случайной величины. bКbКbКbКоэффициент корреляции – это числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, выражающая их взаимосвязь. Возможное значение от -1 до 1. Если значение 0, то нет зависимости одной величины от другой. Если значение -1, 1, то имеется линейная зависимость одной величины от другой.

bДbДbДbДисперсия (вариация) – это характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. bОbОbОbОтклонение – это характеристика случайной величины, показывающая степень ее разброса, равная корню квадратному из дисперсии.

3. Статистические функции MathCad. brbrbrbrnd(x) – генерация случайного числа со значением от 0 до х. bcbcbcbcorr(VX, VY) – определение коэффициента корреляции двух векторов. bmbmbmbmean(V) – определение среднего значения элементов вектора.

bvbvbvbvar(V) – вычисление дисперсии (вариации) для элементов вектора V. bsbsbsbstdev(V) – вычисление стандартного отклонения элементов вектора V. bhbhbhbhist(int,V) – возвращает вектор частот попадания данных V в заданные интервалы int (служит для построения гистограмм распределения случайной величины). bРbРbРbР аааа сссс сссс мммм оооо тттт рррр ееее тттт ьььь п п п п рррр ииии мммм ееее рррр в в M M M M aaaa tttt hhhh CCCC aaaa dddd....

4. Функции создания векторов с различными законами распределения. brbrbrbrbinom(m, n, p) – биномиальное; b rb rb rb rexp(m, r) – экспоненциальное; b rb rb rb rnorm(m, µ, σ) – нормальное; brbrbrbrunif(m, a, b) – равномерное; bРbРbРbР аааа сссс сссс мммм оооо тттт рррр ееее тттт ьььь п п п п рррр ииии мммм ееее рррр в в M M M M aaaa tttt hhhh CCCC aaaa dddd....

5. Выполнение регрессии для экспериментальных данных (аппроксимация данных). bЧbЧbЧbЧасто на практике требуется представить экспериментальные данные некоторой функцией y(x). bЗbЗbЗbЗадача регрессии заключается в получении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала «облако» исходных точек (заданных векторами Vx и Vy) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью.

5.1 Выполнение линейной регрессии. bЧbЧbЧbЧаще всего используется линейная регрессия, при которой функция y(x) описывает отрезок прямой и имеет вид: y(x) = a + b x bДbДbДbДля поиска коэффициентов в MathCad применяются специальные функции: a := intercept(Vx, Vy); b := slope(Vx, Vy) bРbРbРbР аааа сссс сссс мммм оооо тттт рррр ееее тттт ьььь п п п п рррр ииии мммм ееее рррр в в в в M M M M aaaa tttt hhhh CCCC aaaa dddd....

5.2 Выполнение линейной регрессии общего вида. bЗbЗbЗbЗаданная совокупность точек (экспериментальных данных) приближается к функции: y(x) = K K K K1 F1 (x) + K2 F2 (x) +…+ Kn Fn (x) bВbВbВbВектор F(x) из n элементов задается в символьном виде. bДbДbДbДля поиска вектора коэффициентов K применяется специальная функция: K := linfit(Vx, Vy, F) bРbРbРbР аааа сссс сссс мммм оооо тттт рррр ееее тттт ьььь п п п п рррр ииии мммм ееее рррр в в M M M M aaaa tttt hhhh CCCC aaaa dddd....

5.3 Выполнение полиномиальной регрессии. bЗbЗbЗbЗаданная совокупность точек (экспериментальных данных) приближается к функции – полиному n-й степени: y(x) = K K K K0 + K1 x + K2 x2 +…+ Kn xn bДbДbДbДля поиска y(x) применяется специальная функция: y(x) := interp(Z, Vx, Vy, x) bГbГbГbГде вектор Z находится предварительно п п п при помощи специальной функции (n – степень полинома): Z := regress(Vx, Vy, n) bРbРbРbР аааа сссс сссс мммм оооо тттт рррр ееее тттт ьььь п п п п рррр ииии мммм ееее рррр в в M M M M aaaa tttt hhhh CCCC aaaa dddd....

5.4 Выполнение нелинейной регрессии общего вида. bЗbЗbЗbЗаданная совокупность точек (экспериментальных данных) приближается к произвольной функции: F(x, K0, K1, …, Kn) bДbДbДbДля поиска вектора параметров K применяется специальная функция: K := genfit(Vx, Vy, Vk, F) bГbГbГbГде вектор Vk должен содержать начальные приближения элементов вектора K; bВbВbВbВектор F должен содержать символьные представление функции регрессии и ее производных по всем параметрам. bРbРbРbР аааа сссс сссс мммм оооо тттт рррр ееее тттт ьььь п п п п рррр ииии мммм ееее рррр в в M M M M aaaa tttt hhhh CCCC aaaa dddd....

Далее: bbЛbbЛабораторная работа 7. «Моделирование результатов эксперимента и их статистическая обработка».