Метод областей и его обобщения при решении неравенств с двумя переменными

Содержание Графическое решение неравенств Cвойство чередования знака для линейного многочлена F(x;y)= px + qy + r(p2 + q2 = 0) Метод областей и его обобщения Области знакопостоянства многочленов F(x;y) второй степени примеры

Графическое решение неравенств Решением неравенства с двумя переменными F(x;y)>0 называется упорядоченная пара действительных чисел (x0;y0), обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки (x0;y0) координатной плоскости.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству F(x;y)>0, называют областью его решений. Неравенства называются равносильными, если они имеют одну и ту же область решений.

Полезно будет напомнить здесь одно простое утверждение: график уравнения F(x;y)=y-f(x)=0, где f(x) – многочлен, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) меняет знак на противоположный.

Пример: x 2 -y

Cвойство чередования знака для линейного многочлена F(x;y)= px + qy + r(p2 + q2 = 0): При переходе через точку прямой px + qy + r = 0 из одной полуплоскости в другую знак значения многочлена F(x;y) меняется на противоположный.

Метод областей и его обобщения Метод областей опирается на следующее свойство чередования знака выражения 1) F(x;y) = F1(x;y)*F2(x;y)*…*Fn(x;y) : При переходе через обыкновенную точку прямой pix + qiy + ri = 0 (границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (1) меняется на противоположный.

Области знакопостоянства многочленов F(x;y) второй степени Теорема: Гипербола xy – k = 0 (k неравно 0) делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную выражение F(x;y) = xy – k меняет знак на противоположный.

Теорема: Парабола, заданная каноническим уравнением y2= 2px (p неравно 0), делит координатную плоскость на две области так что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) = y2 - 2px меняет знак на противоположный.

Примеры Пример 1. Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек с координатами (x;y), для которых (x 2 – y – 2)(y 2 – x – 2) < 0.

Записать неравенство, которое задает множество точек плоскости, показанное штриховкой на рисунке. Составим выражение F(x;y) = (y – x2)(x2 + y2 – 16) F(0;5) = 45, 45 > 0. (y – x2)(x2 + y2 – 16) > 0

Пример 2. Найдите на координатной плоскости множество решений неравенства (1-x)y-x > 0 y – 2(1-x)

Спасибо за внимание!