Тема 12: Малые свободные и вынужденные колебания системы

Принимая положение устойчивого равновесия за начало отсчета обобщенной координаты и за нулевой уровень потенциальной энергии, рассмотрим малые движения системы около этого положения равновесия (малые колебания). При таком выборе начала отсчета отклонения системы от положения равновесия будут определяться самим значением обобщенной координаты. Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых колебаний обобщенные координаты и обобщенные скорости малым величинами, можем ограничиться в дифференциальных уравнениях только линейными членами. Одним из способов составления дифференциальных уравнений малых колебаний является использование уравнения Лагранжа II-го рода.

- функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа II-го рода в общем случае имеют вид: Здесь - обобщенные координаты, - обобщенные скорости, - обобщенные силы, Рассмотрим случай системы с одной степенью свободы (s=1).

Тогда уравнение Лагранжа II-го рода примет вид: Здесь L - функция Лагранжа: где T - кинетическая, а U - потенциальная энергии. Полагая отклонения системы от положения устойчивого равновесия малыми, можно представить кинетическую T и потенциальную энергии U в виде: Здесь a – инерционный, c – упругий коэффициенты.

или: Подставим функцию Лагранжа L в уравнение Лагранжа II-го рода, и получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: Подставим в функцию Лагранжа L, кинетическую T и потенциальную U энергии: где:

Малые свободные колебания

Рассмотрим случай малых свободных колебаний. При этом обобщенные возмущающие силы будут отсутствовать (Q(t)=0). Дифференциальное уравнение малых свободных колебаний будет иметь вид : Период свободных колебаний определяется формулой: или: где:

При решении задач на свободные колебания системы с одной степенью свободы рекомендуется следующий порядок действий (с помощью у-ния Лагранжа II-го рода): 1.Выбрать обобщенную координату q. 2.Выразить потенциальную U и кинетическую T энергию системы, через обобщенную координату и обобщенную скорость. 3.Найти функцию Лагранжа L: L=T-U. 4.Подставить функцию Лагранжа L в уравнение Лагранжа II-го рода, получив дифференциальное уравнение малых колебаний. 5.Проинтегрировав уравнение Лагранжа II-го рода, найти уравнение движения системы. 6.Определить период малых колебаний T 0 и другие искомые величины.

Самостоятельные задания по теме Малые свободные колебания «Сборник задач по теоретической механике» Мещерский И.В. 54.1; 54.2;

Вынужденные колебания

- обобщенная возмущающая сила. Рассмотрим случай когда в системе присутствуют возмущающие силы. Мы будем иметь дело с вынужденными колебаниями. Тогда уравнение Лагранжа II-го рода сведется к виду: При произвольной зависимости возмущающей силы от времени решение уравнения задается формулой:

Сумма первых двух слагаемых правой части полученного решения определяет свободные колебания системы, возникающие из-за сообщения системе, находившейся в равновесии, начального отклонения и начальной скорости: Второе слагаемое правой части полученного решения определяет вынужденные колебания системы, возникающие под действием возмущающей силы Q(t) приложенной к системе, находящейся в начальный момент в равновесии:

При решении задач на вынужденные колебания системы с одной степенью свободы рекомендуется следующий порядок действий: 1.Выбрать обобщенную координату q. 2.Выразить потенциальную U и кинетическую T энергию системы, через обобщенную координату и обобщенную скорость. 3.Найти функцию Лагранжа L: L=T-U. 4.Подставить функцию Лагранжа L в уравнение Лагранжа II-го рода, получив дифференциальное уравнение малых колебаний. 5.Сопоставив собственную частоту с частотой возмущающей силы, проверить систему на резонанс. 6.Проинтегрировав уравнение колебаний, найти уравнение движения системы.

Самостоятельное задание по теме Вынужденные колебания Вибрационный стенд состоит из плиты AB весом P 1, установленной на четырех симметричных пружинах одинаковой жесткости c. В центре плиты установлен двигатель D весом P 2. На ось двигателя насажен рычаг длины r, на конце которого расположен груз M веса P 3. Двигатель вращает рычаг в плоскости перпендикулярной плоскости плиты с постоянной угловой скоростью ω. Найти уравнение движения плиты и собственную частоту колебаний системы. В начальный момент система находится в положении статического равновесия, а скорость плиты равняется нулю.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!