Основные понятия Определение. арифметической прогрессией разностью прогрессии. Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия-это числовая последовательность (а ), заданная рекуррентно соотношениям: A 1 =a, a n =a n-1 +d (n=2, 3,4…) ( a и d –заданные числа).

Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она арифметической прогрессией? Можно. Если вы убедитесь в том, что разность между членом постоянна ( т.е. a 2 -a 1 =a 3 - a 2 =a 4 -a 3 =…), то перед вами- арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива, но и для всей последовательности в целом. Пример1. Пример1. 1, 3, 5, 7, 9, 11,….. Это арифметическая прогрессия, у которой A 1 =1, d=2. Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d

Формула n-го члена арифметической прогрессии Способ задания функции арифметической прогрессии, о котором идет речь в определении, является рекурретным. во многих чаях он неудобен : чтобы вычислить например. а 100, надо предварительно найти предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу n- го члена, т.е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии. Рассмотрим арифметическую прогрессию а 1, а 2, а 3, … а n, … с разностью d. Имеем: А 1 =а 1, А 2 =а 1 +d, A 3 =a 2 +d=(a 1 +d)+d=a 1 =2d A 4 = а 3 +d=(a 1 +2d)+d=a 1 =3d A 5 = а 4 +d=(a 1 +3d)+d=a 1 =4d и т.д. Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство A n =a 1 +(n-1)d Эта формула n-го члена арифметической прогрессии.

Перепишем формулу Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии A n =a 1 +(n-1)d в виде a n =dn+(a 1 -d)и введем обозначения: a n =y, a 1 –d=m. Получим : y=dn+m или, подробнее, y=dx+m,x N. Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию (y=dx+m), заданную на множестве N натуральных чисел. угловой коэффициент этой линейной функции равен d- разности арифметической прогрессии.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия а 1, а 2, а 3, … а n, … А)Известно, что a 1 =5, d=4. найти а 22 Б)Известно, что a 1 =-2, d=3, a n =118.найти n. В)Известно, что d=-2, а 39 =83. Найти а 1 Решение. Во всех случаях в основе решений лежит формула n-го члена арифметической прогрессии: A n =a 1 +(n-1)d А) а 22 =а 1 +21d=5+21*4=89 Б) а n = a 1 +(n-1)d 118=-2+(n-1)*3 118=3 n -5 N=41 В) A 15 =a 1 +14d -35=7+14d d=-3 Ответ: а)а 22 =89 б) а n = 41 в) A 15 =-3.

Формулы суммы членов конечной арифметической прогрессии. Пусть дана конечная арифметическая прогрессия ÷ а 1, а 2, а 3, … а n-2, а n-1 a n. Обозначим через S n сумму ее членов S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+ а n-2+ а n-1+ a n. Рассмотрим конкретный пример отыскания S n. Дана конечная арифметическая прогрессия 1. 2, 3, …, 98, 99, 100. Сумму ее членов вычислим следующим образом: S 100 =1+2+3+… =(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+( 50+51)= …+101=101*50=5050

Примерно та же идея используется для вычисления суммы членов произвольной конечной арифметической прогрессии. Для начала заметим, что a 2 +a n-1 =a 1 +a n. в самом деле, по определению арифметической прогрессии a 2 =a 1 +d а n-1 = а n -d. Значит, a 2+ а n-1 =(a 1 +d) + (a n -d) = a 1 +a n.

Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы n членов арифметической прогрессии. Если в формуле для s n, учесть, что а n =a 1 +(n-1)d, то получим: Преимущество этой формулы состоит в том что s n можно вычислить, зная a 1 и d и не вычисляя а n.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии Пусть дана арифметическая прогрессия а 1, а 2, а 3, … а n, … рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: а n-1, а n+1 известно, что A n -d=a n -1 A n+ d=a n+ 1 Сложив эти равенства,получим:

Это значит, что каждый член арифметической прогрессии, кроме первого(и последнего в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность ( a n ) такова, что для любого n> 1 выполняется равенство То ( a n ) – арифметическая прогрессия. В самом деле, последние равенство можно переписать в виде a n - a n -1 = a n+ 1 – a n Это значит, в частности. Что а 2 -a 1 =a 3 -a 2 =a 4 -a 3, и т.д. Иными словами, разность между любым членом последовательности предшествующим ему всегда одна и та же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия.

Теорема Тем самым мы доказали следующею теорему. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого( и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого( и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов( характерическое свойство арифметической прогрессии).

Работу выполняла: Ярковая Анжелика