1 Уничтожение радикалов Рогозина Елена Геннадьевна Санкт-Петербургский центр подготовки спасателей ПУ-97

2 Пояснительная записка В этом уроке рассматриваются уравнения с несколькими радикалами. В этом случае одним возведением в квадрат не обойтись.Однако часто помогают приемы: переход к следствиям с последующей проверкой (прямое решение) и эквивалентные переходы по простейшим схемам освобождения от радикалов (сведение к простейшим уравнениям). Появляется и новый для иррациональных уравнений метод:замена переменной.

3 План урока Прямое решение Замена переменной Замена переменной Маскировка радикалов Вложенные радикалы

4 Прямое решение Как решать иррациональные уравнения, содержащие несколько знаков корня?Объясним это на примере. Приведем три способа решения уравнения, которое вы видите на экране.

5 Прямое решение Сумма радикалов Первое решение - самое бесхитростное. Возведем обе части в квадрат.

6 Прямое решение Сумма радикалов Приведем подобные и изолируем слагаемое, содержащее радикалы,в одной части

7 Прямое решение Сумма радикалов Еще раз возведя в квадрат обе части и приведя подобные члены, приходим к квадратному уравнению. Допиши это уравнение готово

8 Прямое решение Сумма радикалов Корни этого уравнения готово готово

9 Прямое решение Сумма радикалов Корни этого уравнения Ответ : х = -3 Это посторонний корень, при х=-8;уравнение имеет вид -1=1

10 Сведение к простейшим уравнениям Во втором решении того же уравнения мы организуем возведения в квадрат так,чтобы можно было воспользоваться полученными нами ранее схемами отсеивания посторонних корней. Перенесем радикал, перед котором стоит минус,направо.

11 Сведение к простейшим уравнениям Сумма радикалов

12 Сведение к простейшим уравнениям Сумма радикалов Полученное уравнение можно рассматривать как простейшее уравнение второго типа в котором правая часть g(x) сама содержит радикал. А поскольку она положительна при всех х, при возведение в квадрат условие ее положительности можно не писать.

13 Сведение к простейшим уравнениям Сумма радикалов Итак, возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные. готово

14 Сведение к простейшим уравнениям Сумма радикалов Снова получилось простейшее уравнение второго типа. Переходим к системе и решаем ее;впрочем, ответ мы уже нашли выше.

15 Замена переменной Идея третьего решения в том, чтобы взять один из радикалов за новую неизвестную.Тогда в уравнении останется только один радикал, а такие уравнения мы решать умеем.Идея третьего решения в том, чтобы взять один из радикалов за новую неизвестную.Тогда в уравнении останется только один радикал, а такие уравнения мы решать умеем.

16 Замена переменной Сумма радикалов Замена: Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем простейшее иррациональное уравнение для t.

17 Замена переменной Сумма радикалов Замена: Соответствующая система имеет единственный корень t=2. Подставим это значение t в выражение для х

18 Задание 1. Ответ: 481 готово

19 Маскировка радикалов В уравнении, которое мы рассмотрим, имеется повторяющееся выражение с неизвестной. Более того, х появляется здесь только внутри этого выражения. Это самая типичная ситуация, в которой целесообразно сделать замену переменной.

20 Маскировка радикалов Шаг за шагом Замена: Радикалы исчезают, и мы получаем рациональное уравнение относительно новой переменной t.Реши это уравнение самостоятельно.

21 Маскировка радикалов Шаг за шагом Замена: Теперь решая относительно х уравнения замены для найденных значений t. готово

22 Маскировка радикалов Шаг за шагом Замена: Решения нет Ответ: 1

23 Маскировка радикалов Шаг за шагом Замена: Ответ: 1 Второе уравнение можно не решать,так как новая переменная должна быть неотрицательной

24 Маскировка радикалов Шаг за шагом Можно сказать, что в этом решении мы как бы спрятали радикалы под маской новой переменной, и лишь когда пришло время «снимать маски»,столкнулись с иррациональными уравнениями, причем самыми простыми, в левой части которых - радикалы, а в правой - числа. А при решении таких уравнений проблем с посторонними корнями не возникает.

25 Маскировка радикалов Шаг за шагом Из предыдущего примера Увидим, что замена подкоренного выражения различна, поэтому замена устраняет только один радикал. Эта замена хорошо работает в случае, когда функция под радикалом линейна, так что получается простое выражение исходной переменной х через новую.

26 Маскировка радикалов Шаг за шагом Можно решать данное уравнение и не пользуясь заменой. Умножим обе части на знаменатель дроби. Этот переход равносильный, потому что множитель не может обращаться в нуль. готово готово

27 Маскировка радикалов Шаг за шагом Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые готово

28 Вложенные радикалы Уравнения, содержащие несколько радикалов, часто можно решить по шагам,освобождаясь на каждом шаге от одного или двух радикалов как при решении простейших уравнений.Уравнения, содержащие несколько радикалов, часто можно решить по шагам,освобождаясь на каждом шаге от одного или двух радикалов как при решении простейших уравнений. Следующее уравнение можно представить в виде простейшего уравнения первого типа, забыв на время о внутреннем корне.Следующее уравнение можно представить в виде простейшего уравнения первого типа, забыв на время о внутреннем корне.

29 Вложенные радикалы Шаг за шагом Возведем обе части в квадрат и припишем ограничение на область определения.

30 Вложенные радикалы Шаг за шагом Ответ: 14 Упростим полученное уравнение.Теперь можно повторить возведение в квадрат и избавиться от второго радикала готово

31 Проверь себя

32 Домашняя работа