КОНЦЕПЦИЯ ЭНТРОПИИ В СИСТЕМНОМ АНАЛИЗЕ Попков Ю.С. Институт системного анализа Российской академии наук МФТИ 09 апреля 2013

? 1. Неопределенности S ШКОЛА Информации I =H 0 -H ? Риски РАО ЕЭС 1.5% Газпром 1.2% Р&K 18% Котировки РАО ЕЭС 12% Газпром 8% Рога и Копыта 28% Котировки РАО ЕЭС 12% Газпром 8% Рога и Копыта 28% 3. Поведенческой мотивации max H = max P 2 Энтропийная мера

3 ТЕОРИЯ МАКРОСИСТЕМ

Физическая система Транспортная система Биологическая система Экономическая система Звездные структуры Системные эффекты 4

Устойчивое распределение Устойчивое распределение Априорные вероятности Элементы со стохастическим поведением Макроуровень коллективное поведение максимум энтропии Микроуровень индивидуальное поведение Устойчивое распределение Решения Население Производители Потребители … Индивидуальные и коллективные свойства 5

Макросостояние Макроуровень Микроуровень ресурсы М А К Р О С И С Т Е М А Феноменология равновесных состояний макросистемы 6

емкость подмножества S i емкость состояния в подмножестве S i количество подмножеств Классы элементов и подмножеств Подмнож / Элементы DI DDDDI IIDII DI – различимы I - неразличимы Классы статистик (емкость состояний l i ) l i =1Ферми li=li=Эйнштейн L i -любая (элементов мало) Больцман 1 l i Парастатистика Макросостояние Определение и классификация макросистем 7

DD-парамакросистема неравные априорные вероятности равные априорные вероятности ID-парамакросистема неравные априорные вероятности равные априорные вероятности Примеры функций распределения вероятностей макросостояний 8

Модели стационарных состояний макросистем A) С полным использованием ресурсов Б) С неполным использованием ресурсов Вариационный принцип 9

компонентыв блокахмежду блоками процесссамовоспроизведениераспределение элементыcпецифические x(t) неспецифические Y(t) природадетерминированнаястохастическая временная шкаламедленнаябыстрая время релаксации Феноменология неравновесных состояний макросистем 10

Состояния блоков Локально-стационарные состояния распределения потоков универсального продукта Априорная вероятность Емкость Запасы Функции потребления универсальный продукт Ресурсные ограничения Модель неравновесных состояний макросистемы (динамическая система с энтропийным оператором) 11

Энтропийный оператор Динамическая система с энтропийным оператором 12

Энтропийно-линейное программирование (ЭЛП) Энтропийно-квадратичное программирование (ЭКП) Задачи энтропийного программирования 13

Активные переменные (p,q) – заданы итерация номер перемен. z1, 23, 45, 67, 89, 101, 2...p=2 номер перемен. μ1, 23, 41, 23, 41, 23, 4...q=2 1. Циклический выбор активных переменных (l=10, r=15) 2. По максимальной невязке 3. По минимальной и максимальной невязке Мультипликативные алгоритмы с (p,q)-активными переменными 14 Алгоритмы по двойственным переменным Алгоритмы по прямым переменным Смешанные алгоритмы

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДЕМОЭКОНОМИКА 15

Фонды Экономика ТрудТовар Природные ресурсы Население Потребление товаров Трудоспособное население Система «население-экономика» Население Экономика Труд Потребление Население и экономика 16

Феноменология НаселениеЭкономика Воспроизводство МиграцияПроизводство Население Миграционное и репродуктивное поведение человека Экономическое поведение производителей и потребителей Факторы: экономические экологические культурологические религиозные т.п. Факторы: прибыль риск транспортные издержки т.п. Почему энтропия? 17

Модуль «Воспроизводство» Внешняя миграция - сальдо внешней миграции (экзогенная переменная) - воспроизводство - внутренняя миграция - внешняя миграция - матрица поло-возрастной структуры рождаемости, старения и смертности Энтропийная модель «Население» 18

Модуль «Внутренняя миграция» Принципы:локальных равновесий и максимизации энтропии Н – энтропия распределения миграционных потоков Y Z – воздействие метасистемы – допустимое множество распределений миграционных потоков Реализация: – априорные вероятности выбора n-мигрантом региона j – удельные расходы k-го ресурса – запас k-го ресурса энтропийно-линейное программирование Энтропийная модель «Население» 19

Пространственная экономика Рынок труда Производство Рынок товаров Выпуск Потоки Ресурсы Предложение Потребность Распределение занятых Модель «Экономика» 20

U i – выпуск в i-м регионе F ij – поток «товаров» из i-й в j-й регион Энтропийная модель Энтропийная модель «Рынок товаров» 21

22 Модель рынка труда Когорты Рынок труда w(c,t) c t Предложение S(c,t) Потребность R E (c,t) Работающие

23 Модель рынка труда 2 собственная конкурентноспособность сравнительная конкурентноспособность спрос-предложение Квазиэластичность

24 Модель рынка труда 3 Эксперимент: 9 стран Европейского Союза гг.

КОМПЬЮТЕРНАЯ ТОМОГРАФИЯ 25

Вертикальная проекция Горизонтальная проекция Энтропия Энтропийное восстановление томографических изображений 26

A) Статические процедуры Б) Динамические процедуры Процедуры энтропийного восстановления изображений 27 Обратная связь

Некоторые типы обратных связей 28 Обратная связь по текущему параметру Обратная связь по текущим среднему и дисперсии

Пример энтропийного восстановления томографических изображений 29

ЭНТРОПИЙНОЕ РОБАСТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ 30

Линейная статическая модель данных матрица Параметры Шум... интервалы случайная величина... интервалы случайная величина Энтропийное оценивание 31 Линейная рандомизированная модель данных

ПараметрыШум при условиях при наихудшем шуме Задача робастного энтропийного оценивания 32 робастное энтропийное оценивание

Пример 5 параметров: 1 измерение: шум: ,10,20,30,20,1 Исходные данные Монте Карло 200 испытаний Результаты для 33

I. Непрерывный случай Стационарные случайные процессы:полезный; шум; наблюдаемый; Линейный фильтр: импульсная характеристика фильтрагде Энтропийная мера близости Условия минимума: Линейное приближение: Энтропийная робастная фильтрация 34

II. Дискретный робастный энтропийный фильтр Динамическая модель полезного сигнала Модель наблюдаемого сигнала матрицы Рандомизированная модель случайные величины... …… …… …… Энтропийная робастная фильтрация 35

II. Дискретный робастный энтропийный фильтр при условиях 36

ВЕРЕН ли ПРИНЦИП МАКСИМИЗАЦИИ ЭНТРОПИИ ? 37

Метод Монте-Карло стохастическая Микродинамика «Быстрая» Макродинамика «Медленная» Оператор осреднения микро- состояние макро- состояние Стохастическая имитация модельных процессов 38

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ 39