Лекция 6. Расчет потенциалов простейших электростатических полей 6.1. Уравнения Лапласа и Пуассона 6.2. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности 6.3. Расчет потенциалов простейших электростатических полей

6.1. Уравнения Лапласа и Пуассона Часто предпочтительным методом нахождения Е является сведение задачи к решению дифференциального уравнения для потенциала. Теорема Гаусса: иследовательно - оператор Лапласа (лапласиан) - уравнение Пуассона - уравнение Лапласа В области пространства, где заряды отсутствуют =0

Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами

6.2. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии. Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто: (5.6.1)

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности (6.6.2)

Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны

Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру получим: т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.

Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность

6.3. Расчет потенциалов простейших электростатических полей Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями Рис. 6.1,а

Мы показали, что напряженность связана с потенциалом тогда (6.1.1) где – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями σ = q/S – поверхностная плотность заряда.

Чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение При x 1 = 0 и x 2 = d (6.1.2)

На рисунке 6.1,б изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями. Рис. 6.1,б

Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что

Тогда, т.к. отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:

Рис. 6.2

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора Рис. 6.3

Т.к., то

Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем, Е = 0, φ = const; между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю. Рис. 6.4

Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой) Напряженность поля сферы определяется формулой Рис. 6.5

А т.к., то Рис. 6.6

Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы: С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей. Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность. Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат.

7.1. Поляризация диэлектриков; 7.2. Различные виды диэлектриков: Сегнетоэлектрики; Пьезоэлектрики; Пироэлектрики; 7.3. Вектор электрического смещения Поток вектора электрического смещения. Теорема Гаусса для вектора Изменение и на границе раздела двух диэлектриков. Лекция 7 Тема: ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ Сегодня: пятница, 14 июня 2013 г.

До сих пор мы рассматривали электростатические поля и взаимодействие зарядов в вакууме. Как ведут себя заряды в среде? Что происходит с веществом в электростатическом поле?

Электрический диполь. р = ql - электрический дипольный момент. 25

26 Диполь во внешнем поле Электрическое поле стремится повернуть ось диполя так, чтобы его электрический момент р установился по направлению поля. Положение равновесия, когда векторы p и E параллельны, устойчиво. Энергия диполя во внешнем поле

4.1. Поляризация диэлектриков Все известные в природе вещества, в соответствии с их способностью проводить электрический ток, делятся на три основных класса: диэлектрики полупроводники проводники

В идеальном диэлектрике свободных зарядов, то есть способных перемещаться на значительные расстояния (превосходящие расстояния между атомами), нет. Но это не значит, что диэлектрик, помещенный в электростатическое поле, не реагирует на него, что в нем ничего не происходит.

Смещение электрических зарядов вещества под действием электрического поля называется поляризацией. Способность к поляризации является основным свойством диэлектриков.

Поляризуемость диэлектрика включает составляющие – электронную, ионную и ориентационную (дипольную).

Главное в поляризации – смещение зарядов в электростатическом поле. В результате, каждая молекула или атом образует электрический момент Р

Внутри диэлектрика электрические заряды диполей компенсируют друг друга. Но на внешних поверхностях диэлектрика, прилегающих к электродам, появляются заряды противоположного знака (поверхностно связанные заряды).

Обозначим – электростатическое поле связанных зарядов. Оно направлено всегда против внешнего поля Следовательно, результирующее электростатическое поле внутри диэлектрика

Поместим диэлектрик в виде параллелепипеда в электростатическое поле Электрический момент тела, можно найти по формуле: – поверхностная плотность связанных зарядов.

Введем новое понятие – вектор поляризации – электрический момент единичного объема. (4.1.4) где n – концентрация молекул в единице объема, – электрический момент одной молекулы.

С учетом этого обстоятельства, (4.1.5) (т.к. – объем параллелепипеда). Приравняем (4.1.3.) и (4.1.5) и учтем, что – проекция P на направление – вектора нормали, тогда

Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке поверхности. Отсюда следует, что индуцированное в диэлектрике электростатическое поле E' будет влиять только на нормальную составляющую вектора напряженности электростатического поля.

Вектор поляризации можно представить так: (4.1.7) где – поляризуемость молекул, – диэлектрическая восприимчивость – макроскопическая безразмерная величина, характеризующая поляризацию единицы объема.

Следовательно, и у результирующего поля изменяется, по сравнению с,только нормальная составляющая. Тангенциальная составляющая поля остается без изменения. В векторной форме результирующее поле можно представить так: (4.1.8) Результирующая электростатического поля в диэлектрике равно внешнему полю, деленному на диэлектрическую проницаемость среды ε: (4.1.9)

Величина характеризует электрические свойства диэлектрика. Физический смысл диэлектрической проницаемости среды ε – величина, показывающая во сколько раз электростатическое поле внутри диэлектрика меньше, чем в вакууме: (4.1.10)

График зависимости напряженности электростатического поля шара от радиуса, с учетом диэлектрической проницаемости двух сред ( и ), показан на рисунке Как видно из рисунка, напряженность поля изменяется скачком при переходе из одной среды в другую.

4.2. Различные виды диэлектриков В 1920 г. была открыта спонтанная (самопроизвольная) поляризация. Всю группу веществ, назвали сегнетоэлектрики (или ферроэлектрики). Все сегнетоэлектрики обнаруживают резкую анизотропию свойств (сегнетоэлектрические свойства могут наблюдаться только вдоль одной из осей кристалла). У изотропных диэлектриков поляризация всех молекул одинакова, у анизотропных – поляризация, и следовательно, вектор поляризации в разных направлениях разные.

Рассмотрим основные свойства сегнетоэлектриков: 1. Диэлектрическая проницаемость ε в некотором температурном интервале велика( ). 2. Значение ε зависит не только от внешнего поля E 0, но и от предыстории образца. 3. Диэлектрическая проницаемость ε (а следовательно, и Р ) – нелинейно зависит от напряженности внешнего электростатического поля (нелинейные диэлектрики).

Это свойство называется диэлектрическим гистерезисом Здесь точка а – состояние насыщения.

4. Наличие точки Кюри – температуры, при которой (и выше) сегнетоэлектрические свойства пропадают. При этой температуре происходит фазовый переход 2-го рода. Например, титанат бария: 133º С; сегнетова соль: – º С; ниобат лития 1210º С.

Стремление к минимальной потенциальной энергии и наличие дефектов структуры приводит к тому, что сегнетоэлектрик разбит на домены

Среди диэлектриков есть вещества, называемые электреты – диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электростатического поля (аналоги постоянных магнитов).

Пьезоэлектрики Некоторые диэлектрики поляризуются не только под действием электрического поля, но и под действием механической деформации. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом. Явление открыто братьями Пьером и Жаком Кюри в 1880 году. Если на грани кристалла наложить металлические электроды (обкладки) то при деформации кристалла на обкладках возникнет разность потенциалов. Если замкнуть обкладки, то потечет ток.

Рис. 4.7 Рис. 4.7 Возможен и обратный пьезоэлектрический эффект: Возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями.Возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями. Если на пьезоэлектрический кристалл подать напряжение, то возникнут механические деформации кристалла, причем, деформации будут пропорциональны приложенному электрическому полю Е 0.Если на пьезоэлектрический кристалл подать напряжение, то возникнут механические деформации кристалла, причем, деформации будут пропорциональны приложенному электрическому полю Е 0.

Сейчас известно более 1800 пьезокристаллов.Сейчас известно более 1800 пьезокристаллов. Все сегнетоэлектрики обладают пьезоэлектрическими свойствамиВсе сегнетоэлектрики обладают пьезоэлектрическими свойствами Используются в пьезоэлектрических адаптерах и других устройствах). Используются в пьезоэлектрических адаптерах и других устройствах).

Пироэлектрики Пироэлектричество – появление электрических зарядов на поверхности некоторых кристаллов при их нагревании или охлаждении. При нагревании один конец диэлектрика заряжается положительно, а при охлаждении он же – отрицательно. Появление зарядов связано с изменением существующей поляризации при изменении температуры кристаллов.

Все пироэлектрики являются пьезоэлектриками, но не наоборот. Некоторые пироэлектрики обладают сегнетоэлектрическими свойствами.

В качестве примеров использования различных диэлектриков можно привести: сегнетоэлектрики – электрические конденсаторы, ограничители предельно допустимого тока, позисторы, запоминающие устройства; пьезоэлектрики – генераторы ВЧ и пошаговые моторы, микрофоны, наушники, датчики давления, частотные фильтры, пьезоэлектрические адаптеры; пироэлектрики – позисторы, детекторы ИК- излучения, болометры (датчики инфракрасного излучения), электрооптические модуляторы.

4.3. Вектор электрического смещения Имеем границу раздела двух сред с ε 1 и ε 2, так что, ε 1 < ε 2 (рис. 4.8). Рис. 4.8 или или Напряженность электрического поля E изменяется скачком при переходе из одной среды в другую.

Главная задача электростатики – расчет электрических полей, то есть в различных электрических аппаратах, кабелях, конденсаторах,…. Эти расчеты сами по себе не просты да еще наличие разного сорта диэлектриков и проводников еще более усложняют задачу.

Для упрощения расчетов была введена новая векторная величина – вектор электрического смещения (электрическая индукция). (4.3.1) Из предыдущих рассуждений E 1 ε 1 = ε 2 E 2 тогда ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 отсюда и D n1 = D n2.

Таким образом, вектор остается неизменным при переходе из одной среды в другую и это облегчает расчет.

Зная и ε, легко рассчитывать

отсюда можно записать: (4.3.3) – вектор поляризации, χ – диэлектрическая восприимчивость среды, характеризующая поляризацию единичного объема среды. где

Для точечного заряда в вакууме Для имеет место принцип суперпозиции, как и для, т.е.

4.4. Поток вектора электрического смещения. Теорема Остроградского-Гаусса для вектора Пусть произвольную площадку S пересекают линии вектора электрического смещения под углом α к нормали:

В однородном электростатическом поле поток вектора равен:

Теорему Остроградского-Гаусса для вектора D получим из теоремы Остроградского-Гаусса для вектора E :

Теорема Остроградского-Гаусса для (4.4.1) Поток вектора через любую замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми зарядами внутри объема, ограниченного данной поверхностью. Это позволяет не рассматривать связанные (поляризованные) заряды, влияющие на и упрощает решение многих задач. В этом смысл введения вектора.

4.5. Изменение и на границе раздела двух диэлектриков Рассмотрим простой случай (рисунок 4.12): два бесконечно протяженных диэлектрика с ε 1 и ε 2, имеющих общую границу раздела, пронизывает внешнее электростатическое поле.

Пусть Из п. 4.3 мы знаем, что и

Образовавшиеся поверхностные заряды изменяют только нормальную составляющую а тангенциальная составляющая остается постоянной, в результате направление вектора изменяется:

То есть направление вектора E изменяется: Это закон преломления вектора напряженности электростатического поля.

Рассмотрим изменение вектора D и его проекций и

Т.к., то имеем: т.е. – нормальная составляющая вектора не изменяется. т.е. тангенциальная составляющая вектора увеличивается в раз

закон преломления вектора D.

Объединим рисунки 4.12 и 4.13 и проиллюстрируем закон преломления для векторов E и D :

Как видно из рисунка, при переходе из одной диэлектрической среды в другую вектор – преломляется на тот же угол, что и Входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии и удаляются от нормали.

Лекция окончена. Сегодня: пятница, 14 июня 2013 г. До свидания! УРА! УРА! УРА!

Лекция окончена. Сегодня: пятница, 14 июня 2013 г. До свидания!