Автоколебательные системы, заданные катастрофой сборки Д.В.Визгалин, студент 3-го курса ФНП СГУ, научный руководитель профессор, д.ф.-м.н. А.П. Кузнецов Саратов -2006

Автоколебательные системы, заданные катастрофой «сборка» В работе решается задача изучения поведения простейшей эталонной автоколебательной системы Ван дер Поля

Данная система имеет прикладное значение, поскольку при помощи ряда замен переменных к ней можно свести известную систему ФитцХью- Нагумо:

где Перепишем полученное уравнение в виде :

Вывод условий бифуркаций Андронова-Хопфа, Богданова – Таккенса и седло - узловой бифуркации С-У

Условие для бифуркации Андронова-Хопфа. А-Х Б-т

Так же интересным является случай с потенциалом, заданным полиномом: С-у

Условие бифуркации Андронова – Хопфа для такой системы А-х

Рис.1. Линии бифуркации Андронова-Хопфа (А-Х) и седло - узловой бифуркации (С-У) на плоскости параметров (b,a), построенные для различных значений параметра. Линии А-Х и С-У пересекаются в точках бифуркаций Богданова - Такенса (Б-Т). Линии седло – узловой бифуркации сходятся в точке Сб. В точках Сб. и Б-Т имеют место бифуркации коразмерности 2.

Рис.2. Плоскость параметров (b,a) и характерные фазовые портреты.

Рис.3. Плоскость параметров (b,a) и характерные фазовые портреты, построенные методом деформации облака начальных условий.

Анализ укороченных уравнений

А-х С-у

Численное исследование укороченных уравнений. ( =0) ( 0)

Рис. 4. Язык синхронизации и иллюстрации фазовых портретов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация, фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003, 508 с. Aronson D.G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude Response of Coupled Oscillators. //Physica D Vol. 41. P Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух связанных осцилляторов Ван дер Поля – Дуффинга с диссипативной связью. //Изв. вузов «ПНД», т.11, 6, Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности устройства пространства параметров двух неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля – Дуффинга. //Изв. вузов «ПНД», т.13, 4, 3-19 (2005). Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. (Сер. Современная теория колебаний и волн). 2-е изд-е: Физматлит, Москва, Кузнецов С.П. Динамический хаос. (Сер. Современная теория колебаний и волн). Изд-во Физматлит, Москва. 2-е изд-е перераб. и доп.: Физматлит, Москва, Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга. Широкополосная синхронизация. //Изв. вузов «ПНД»: принято к печати, Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, с. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, с. Bifurcation structure of two coupled periodically driven double-well Duffing oscillators Anatole Kenfack A. Kenfack / Chaos, Solitons and Fractals 15 (2003) 205–218. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators M.V. Ivanchenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, J. Kurths.M.V. Ivanchenko et al. / Physica D 189 (2004) 8–30 Resonance behaviour and jump phenomenon in a two coupled Duffing–van der Pol oscillators, S. Rajasekar, K. Murali, S. Rajasekar, K. Murali / Chaos, Solitons and Fractals 19 (2004) 925–934. Resonant oscillation and homoclinic bifurcation in a U^6-Van der Pol oscillator, M. Siewe Siewe, F.M. Moukam Kakmeni, C. Tchawoua, M. Siewe Siewe et al. / Chaos, Solitons and Fractals 21(2004) 841–853.