Общая схема исследования функции и построения графика
Исследование функции y= f(x) целесообразно вести в определенной последовательности:
1.Найти область определения функции 2.Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат 3.Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x) 0 или f(x)
5.Найти асимптоты графика функции 6.Найти интервалы монотонности функции 7.Найти экстремумы функции 8.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции
Пример Необходимо исследовать эту функцию и построить ее график Дана функция
Решение 1. Найти область определения функции Функция не определена при x = 1 и x = -1. Область ее определения состоит из трех интервалов (-; -1), (-1; 1), (1; +), а график из трех ветвей.
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика функции с осями координат Е сли x = 0, то y = 0. График пересекает ось Oy в точке O(0;0). Если y = 0, то x = 0. График пересекает ось Ox в точке O(0;0).
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x) 0 или f(x)0) на интервалах (-; -1) и (0; 1). Функция знакоотрицательна (y
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида Функция является нечетной, т.к. Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при x 0
5. Найти асимптоты графика функции Прямые x = 1 и x x x x = -1 являются ее вертикальными асимптотами. Прямая у = 0 я я я является ее горизонтальной асимптотой.
6. Найти интервалы монотонности функции Находим интервалы возрастания и убывания функции. Т.к., то > > 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.
7. Найти экстремумы функции Находим интервалы возрастания и убывания функции. Т.к., то критическими точками являются точки x1 = 1 и x2 = -1 ( не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции Исследуем функцию на выпуклость. Находим :
Вторая производная равна нулю или не существует в точках x1 = 0, x2 = -1 и x3 = 1. Точка О(0; 0) – точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах (-1; 0) и (1; +); выпуклый вниз на интервалах (-; -1) и (0; 1).
График функции