Тема: «Применение производной к исследованию функции»

Применение производной к исследованию функции 1) промежутки возрастания, убывания 3) наибольшее и наименьшее значение функции 2) точки экстремума и значение функции в этих точках 4) построение графика функции

Признак возрастания (убывания)функции Достаточный признак возрастания функции. Если f (x)>0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f (x)< 0 в каждой I, то функция убывает на I. Если f (x)= 0 в каждой точке интервала I, то f является постоянной (константой)на интервале I.

Промежутки возрастания, убывания f (x) - ? f (x) > 0 в каждой точке интервала I f возрастает на I f (x) < 0 в каждой точке интервалаI f убывает на I ++ - х1х1 х2х х1х1 х1х1 х2х2 х2х2 х3х3 -функция возрастает, - функция убывает. f f f f f f

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции. Построить график f (x)=x 3 – 27x

Решение: Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства f (x)=3x 2 – 27x следует, что f > 0, если 3x 2 – 27 > 0. Решаем это неравенство методом интервалов, получим: 3x 2 – 27 >0, 3 (x 2 – 9) >0, 3 (x – 3)(x + 3) >0. Получили, что f > 0 на интервале (- ; -3) и (3; + ) и значит, на этих интервалах функция f возрастает. Аналогично f < 0 на интервале (-3; 3), поэтому на этом интервале f убывает. Вычисляем значение функции в точках -3 и 3. f(-3)=(-3) 2 – 27*(-3)= =54; f(-3)=(-3) 2 – 27*(-3)= =54;f(3)=27-81=

На координатной плоскости отметим точки М (-3; 54) и N (3; 54) и нарисуем проходящий через них график функции, возрастающей на интервалах (-; -3) и (3; +) и убывающей на интервале (-3; 3). Функция f, непрерывна в точке -3 и 3, возрастает на промежутке (- ; -3], [3; +) и убывает на отрезке [-3; 3] х у

Критические точки функции, максимума и минимума Внутренние точки D(f) функции, в которой ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (только они могут быть точками экстремума). Необходимое условие экстремума. Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f, то она равна нулю: f (x 0 )= 0. Признаки максимума функции. Если функция f непрерывна в точке x 0, а f (x) > 0 f (x) 0 на интервале (а, х 0 ) и f (x) < 0 на интервале(х 0, b), то точка x 0 является точкой максимума функции f. (Если в точке x 0 производная меняется знак с «+» на «-», то x 0 есть точка максимума) Если функция f непрерывна в точке x 0, Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке x 0, а f (x) 0 x 0 x 0 x 0 а f (x) 0 на интервале(х 0, b), то точка x 0 является точкой минимума функции f. (Если в точке x 0 производная меняется знак с «-» на «+», то x 0 есть точка минимума)

Точки экстремума и значение функции в этих точках Максимум функции Функция f определена и непрерывна на (a. b) f (x) - ? f (x) > 0 на (а, х 0 )f (x) < 0 на (х 0, b) х 0 - точка максимума f(x 0 ) + - x 0 – точка максимума Минимум функции Функция f определена и непрерывна на (a. b) f (x) - ? f (x) < 0 на (а, х 0 )f (x) > 0 на (х 0, b) х 0 - точка минимума f(x 0 ) x 0 – точка минимума х х f f f f

Пример: Найти критические точки функции. Определить, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума. f (x) = 9+8x 2 -x 4

Решение: f =16х – 4х 3 ; f (х) определена во всех точках, f = 0, 16х – 4х 3 = 0, 4х (4 – х 2 ) = 0, х=0 или (2-х)(2+х)=0 х=0, х =-2, х=2. В точке 0 производная меняет знак с «-» на «+» (f (х) 0 при х Є (0; 2) U (2; +)). Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка 0 является точкой минимума f min (x) = f(0) = 9. f f min

Наибольшее и наименьшее значение функции Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значение функции. Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= x 4 – 8x 2 – 9 на промежутках [-1; 1] [0; 3].

Решение: Решение: Находим критические точки. Т.к. производная f = 4х 3 -16х определена для любого х. Остается решить уравнение f (х)=0. 4х 3 -16х=0, 4х(х 2 -4)=0, х=0 или (х-2)(х+2)=0, х=0, х=2, х=-2. Выбираем наибольшее и наименьшее из чисел Выбираем наибольшее и наименьшее из чисел f(0)= -9, f(2)=-25, f(-1)=-16, f(1)=-16, f(3)=0. Критическая точка -2 не принадлежит указанным промежуткам. Наибольшее значение достигается в точке 3 и равно 0, а наименьшее в точке 2 и равно -25. max f(x)=f(3) = 0min f(x) = f(2) = -25 [-1; 1]и [0; 3] [-1; 1]и [0; 3]

Применение исследования на наибольшее (наименьшее) значение функции к решению прикладных задач Для этого: 1.Задача «переводится» на язык функции. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f (x); 2. Средствами анализа находится наибольшее и наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3. Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Пример: Кусок проволоки длинной 48 м сгибается так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее значение

Решение: Решение: 1. Обозначим через х длину стороны прямоугольника, а вторая сторона равна (24-х). Тогда площадь равна S(x) = х(24 - х). По смыслу задачи 0 < x < 24, таким образом, мы свели поставленную задачу к следующей: найти наибольшее значение функции S(x) = х(24 - х) на интервале (0; 24). 2. Правило нахождения наименьших и наибольших значений функции было сформировано на отрезке. Функция S(x) непрерывна на всей числовой прямой; мы будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; 24], потом сделаем выводы для решаемой задачи. Находим критические точки функции: S(x) = 24 – 2х, S(x)=0, 24-2х=0,х=12, S(12) = 12*( ) = 144. Т.к. S(0)=0 и S(24)=0, своего наибольшего значения на отрезке [0; 24] функция S достигает при х=12, т.е. max S(x)= S(12)=144. Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; 24], а следовательно, и внутри интервала (0; 24). 3. Вспомним что х – длина стороны прямоугольника, имеющей при заданных условиях максимально возможную площадь. Полученый результат означает, что максимальную площадь имеет коробка со стороной 12 см и 12 см, т.е. квадрат. х 24 - х

Практическое применение к исследованию функции Пример: Исследовать функцию y= f (x) = 3x 5 – 5x и построить ее график Схема исследования: 1. Найти область определения 2. Выяснить, является функция четной или нечетной 3. Найти точки пересечения с осями 4. Найти промежутки возрастания, убывания 5. Найти точки экстремума и значение функции в этих точках 6. Построить график

Пример: Исследовать функцию y=f(x)= 3x 5 – 5x и построить ее график. Решение: 1. D(y)=R 2. Функция ни четная, ни нечетная 3. Точки пересечения с осями: график f(x) пересекается с осью ординат в точке (0; 2). Найдем точки пересечения с осью абсцисс, для этого решим уравнение 3х 5 – 5х = 0, один из корней которого (х=1) легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс находить не будем. 4. Промежутки монотонности: f (x) = 15x 4 – 15x 2 = 15 x 2 (x 2 -1) 5. Точки экстремума и значение функции в этих точках: x max = -1 x min = 1 f(-1) = 4f(1) = f f 10 х

6. Построить график y=f(x)= 3x 5 – 5x х у