Математические основы векторной графики Миром правят числа…

Мир компьютерной графики Греческие философы-пифагорейцы утверждали, что весь мир число. И если в отношении всего мира, возможно, философы и преувеличили значение числа, то в отношении компьютерных технологий они оказались безусловно правы: весь компьютерный мир число.

Миром правят числа Мечтатели, сабиллы и пророки Дорогами, запретными для мысли, Проникли -вне сознания -далеко, Туда, где светят царственные числа. Валерий Брюсов «Числа»

Пример растровой графики

Фрактальная графика В математике существует понятие фрактала – геометрического образования, представляющего собой систему самоподобных фигур, расположенных относительно друг друга закономерным образом. Как форма и размер отдельных элементов, так и их взаимное расположение может быть описано математической формулой

Примеры фрактальной графики.

Фракталы в природе Многие природные объекты самоподобны и состоят из повторяющихся элементов разных размеров. Очевидные примеры – дерево, куст, колония кораллов. Еще более наглядным примером может служить соцветие «сложный зонтик» – «зонтик», состоящий, в свою очередь, из маленьких зонтиков.

Пример векторной графики

Векторная графика В основе векторной графики лежат математические представления о свойствах математических фигур. Простейшим объектом векторной графики является линия.

Кривая Безье Программа CorelDraw является редактором изображений, состоящих из объектов векторных контуров, которым после их создания могут присваиваться параметры обводок и параметры заливок. Контуры, в свою очередь, описываются математическими формулами, в частности используется так называемая кривая Безье, названная в честь французского математика Пьера Безье (P. Bezier), который применял математические кривые и поверхности в процессе конструирования кузова автомобиля "Рено".

Продукция компании RENO

Начало-начал Собственно математическая теория, на основе которой появилась возможность использовать кривые в различных прикладных областях, была сформулирована в начале века российским и советским математиком академиком Сергеем Натановичем Бернштейном ( ), который в 1899 году окончил Парижский университет.

Уравнение 3-го порядка. В качестве формулы, которая была бы достаточно простой (с точки зрения математика), универсальной (с точки зрения программиста) и геометрически наглядной (с точки зрения пользователя художника или дизайнера), чаще всего используется упомянутая кривая Безье. На самом деле, это целое семейство кривых, из которых используется частный случай с кубической степенью, т. е. кривая третьего порядка, описываемая следующим параметрическим уравнением: где 0_< t _

Вид кривой Безье Общий вид элементарной кривой Безье представлен на рисунке. Такую кривую можно построить, если известны координаты четырех точек, называемых контрольными.

Узлы кривой Безье. Из четырех контрольных точек кривая проходит только через две, поэтому эти точки называются опорными anchor points (иначе они именуются узлами (nodes), поскольку "связывают" элементарные кривые друг с другом, чтобы образовать единый сложный контур).

Управление объектом с помощью «рычагов» кривизны Две контрольные точки не лежат на кривой, но их расположение определяет кривизну кривой, поэтому эти точки иначе называются управляющими точками, а линии, соединяющие управляющую и опорную точки, управляющими линиями (в просторечии именуются "рычагами").

Кривая Безье является гладкой кривой, т. е. она не имеет разрывов и непрерывно заполняет отрезок между начальной и конечной точками. Кривая начинается в первой опорной точке, касаясь отрезка своей управляющей линии, и заканчивается в последней опорной точке, также касаясь отрезка своей управляющей линии. Это позволяет гладко соединять две кривые Безье друг с другом: управляющие линии располагаются вдоль одной прямой, которая является касательной к получившейся кривой.

Масштабирование кривой Безье. Кривая Безье, используя математический язык, "аффинно инвариантна", т. е. она сохраняет свою форму при масштабировании Это свойство является фундаментом свободы манипулирования объектами векторной графики.

Примеры изображений. Математика + информатика = искусство