«Метод мажорант» Работа учащихся 11 «А» класса МОУ «Гимназия 5» Барышникова Александра, Барышниковой Виктории Научный руководитель: учитель математики Барышникова Т. Н.

Цели исследовательской работы: Изучить определения мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту; Изучить метод мажорант, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств; Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажорант.

«Мажорантой данной функции на множестве P называется такое число M, что либо для всех, либо для всех ». Основная идея метода мажорант состоит в следующем: Пусть мы имеем уравнение и существует такое число M, что для любого x из области определения и имеем: и, тогда уравнение эквивалентно системе:

Существует несколько приёмов нахождения данного числа М. I способ связан с нахождением области значений заданных функций. Пример Решить уравнение Решение Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию, графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины данной параболы: (5;8). Тогда область значений этой квадратичной функции, причём значение 8 она принимает только один раз при х=5. В левой части уравнения находится функция. Область значение её [-8,8]. Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8. Данное уравнение равносильно системе: Второе уравнение системы имеет единственный корень 5, но при выполнении проверки первого уравнения получаем неверное равенство из чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений. Ответ: решений нет.

3 1 1 Y X Y=3 Вершина параболы, стоящей в левой части неравенства, имеет координаты x=1, y=3. Наименьшее значение функции равно 3 при x =1. У графиков данных функций только одна общая точка с координатами x=1, y=3 Ответ: 1 Решить неравенство:

Ответ: 5 Решить уравнение :

Решение На первый взгляд, это не простой пример, но решается он не так уж сложно. Начинаем опять с анализа составляющих неравенства. Функция имеет наибольшее значение равное 1, причём достигается оно только при х=-4. Учитывая, что функция возрастает, и, делаем вывод о справедливости неравенства при любом значении х. Большим единицы произведение в левой части данного уравнения никак не может быть. Неравенство равносильно системе: Решаем первое уравнение системы: Проверяем является ли число (-4) корнем второго уравнения системы. Проверка: равенство верное Ответ: -4 Рассмотрим теперь пример, содержащий логарифм. Решить неравенство

II способ. При поиске решения уравнений и неравенств часто бывает полезным применение базовых неравенств Неравенство Коши равенство достигается в этом неравенстве при a = b. Если же, то Оценка однородного тригонометрического многочлена Тригонометрические неравенства Оценка двух взаимообратных чисел, если равенство достигается при

Решить систему уравнений: И тут снова на помощь приходит метод мажорант. Решение Рассмотрим первое уравнение системы Оценим левую часть уравнения как сумма двух взаимнообратных положительных чисел. Оценим правую часть уравнения Уравнение равносильно системе: Ответ:,,, Воспользуемся равенством для второго уравнения системы.

Решение Сначала запишем равносильное уравнение в удобном для нас виде: (*) Найдем наименьшее значение функции, стоящей в левой части уравнения, на отрезке. Отсюда видно, что f(x) возрастает на отрезках и, а убывает на отрезке. Значит, наименьшее значение функция f(x) принимает либо в точке, либо в точке. Но и, наименьшим значением функции f на данном отрезке оказалось значение 1. Итак, левая часть уравнения (*) не меньше 1 на отрезке, причем значение 1 может достигаться только при. А значение выражения в правой части уравнения (*) не больше 1. Значит, если значения функций совпадут, то этим значением может быть только 1. Проверкой убеждаемся, что и правая часть при х=1/2 принимает значение 1. Ответ: 0,5 III cпособ. Нахождение мажоранты с помощью производной: Пример Найти все решения уравнения лежащие на отрезке

Решение Число 2 – наименьшее значение выражения, стоящего в левой части неравенства, причём достигается оно лишь при х = -2. Число 2 – наибольшее значение дроби, стоящей в правой части неравенства, причём достигается оно лишь при у=3. Левая часть неравенства никогда не станет меньше 2. Согласно применяемому нами методу остаётся единственная возможность, чтобы обе части неравенства приняли значение 2. Ответ: (-2;3) Решить неравенство:

Решить неравенство, зная, что значения Х и У – целые числа. Решение По условию, Х и У целые числа, а тогда значения подкоренных выражений окажутся тоже целыми числами. Нельзя допустить, чтобы значения подкоренных выражений оказались больше или равны 1 (тогда неравенство не будет выполнено). Значит, нам ничего не остаётся, как потребовать, чтобы значения подкоренных выражений, будучи целыми в то же время были и меньше 1. Это целое число 0. Составим и решим систему 3х-2у-4=0 2х+3у-7=0 Эта система имеет единственное решение (2;1) Ответ: (2;1)

Заключение Многие известные нам функции имеют мажоранты: тригонометрические функции, квадратичная функция, некоторые дробно-рациональные функции. Если мажоранта функции не задана явно, мы можем найти ее, исследуя функцию с помощью производной, или применяя некоторые «полезные» свойства, неравенства. Чтобы найти мажоранту функции нужно найти ее наибольшее или наименьшее значение на промежутке. Умение оценивать левую и правую части, входящих в уравнения и неравенства, позволяет успешно решать нестандартные задачи и задачи повышенной сложности. Итак, мы считаем, что цели, которые мы ставили перед собой при выполнении нашей работы, достигнуты, а именно: в нашей работе мы дали определение мажоранты, привели примеры функций, имеющих мажоранту; мы изучили метод мажорант и привели примеры его применения при решении олимпиадных задач и задач из части С ЕГЭ.

Спасибо за внимание