Тренировочные задания второй части. Задания с параметром.

21a. Прямая у = -Зх + b касается окружности х 2 + у 2 = 10 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания. Определите координаты точки касания. 21b. Прямая у = 2 + b касается окружности х 2 + у 2 = 20 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания. Определите координаты точки касания.

1) Найдем значения b, при которых система имеет единственное решение. Решение. Выполнив подстановку, получим уравнение х 2 + (-Зх + b) 2 = 10, 2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. т.е. 10x 2 - 6xb + b = 0. Имеем: D : 4 = 9 – 10(b ) = b 2. Решив уравнение 100 b 2 = 0, получим b = ±10.

3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: у = 3х + 10 и у = 3х 10. Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение 10x 2 - 6xb + b = 0. при b = 10 получим х 2 + 6х + 9 = 0, откуда х = -3; этот корень не удовлетворяет условию задачи; при b = 10 получим х 2 6х + 9 = 0, откуда х = 3. Найдем соответствующее значение у: у = -Зх+ 10 = = 1. Координаты точки касания (3; 1).

1) Найдем значения b, при которых система имеет единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение х 2 + (1/2х + b) 2 = 20, т.е.5/4x 2 + bх +4- b = 0. 2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем: D = b 2 5(b 2 20) = b 2. Решив уравнение 100 4b 2 = 0, получим b = ± 5.

3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: у= 1/2x+ 5 и y= 1/2x- 5. Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение 5/4x 2 + bх +4- b = 0 b = 5 при b = 5 получим х 2 + 4х + 4=0, откуда х = 2; этот корень не удовлетворяет условию задачи; b = -5 при b = -5 получим х 2 – 4x + 4=0, откуда x = 2. Найдем соответствующее значение y: у=1/2x-5=1- 5 = -4. Координаты точки касания (2; -4).

Рассмотрим функцию: f(x)=x 2 +(2a+6)x+12a+4 Квадратичная функция, график- парабола. a=1- ветви вверх. По условию f(x)0 при x є Ø. Графически это выглядит так: Значит, уравнение x 2 +(2a+6)x+12a+4=0 не имеет корней. x

Уравнение x 2 +(2a+6)x+12a+4=0 не имеет корней, если дискриминант отрицателен. D= (2a+6) 2 -4(12a+4)=4a 2 +24a+36-48a-16= =4a 2 -24a+20 4a 2 -24a+20

При каких значениях а неравенство ax 2 -4ax-3 0 выполняется при всех значениях x 1. Пусть а > 0. Рассмотрим функцию: f(x)=ax 2 -4ax-3 Квадратичная функция, график- парабола. a > 0 - ветви вверх. Графически это выглядит так: По условию f(x)0 при любых x. Таких значений а найти нельзя. x

2. Пусть а = 0. Подставим в неравенство вместо а число 0. Получим -3

ax 2 -4ax-3=0 D=4a 2 +3a 4a 2 +3a0 a(4a+3) 0 -0, a -0,75 a 0[-0,75;0]

21. Найдите все значения к, при которых прямая у = кх пересекает в трех различных точках график функции Зх + 7, если х< -3 -2, если -3 < х < 3 3x 11, если х > 3. y=

Y X 1 1 0

Прямая у = кх пересекает в трех различных точках этот график, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (3; 2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым у = Зх + 7 и у = 3x - 11 Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку(3; 2): -2 = 3x к = 2/3. Угловой коэффициент к прямой, параллельной прямой у = Зх + 7, равен 3. Прямая у = кх имеет с графиком заданной функции три общие точки при 2/3 < к < 3.

21. Найдите все значения к, при которых прямая у = кх пересекает в трех различных точках график функции -3х, если х< -1; 3, если -1 х 2 3x 3, если х >2. y=

Y X (-;-3) Ù {1,5} Ù (3;+ )

При каких значениях а корни уравнения x 2 -2ax+(a+1)(a-1)=0 принадлежат промежутку [-5;5] x 2 -2ax+a 2 -1=0 D/4=a 2 -a 2 +1=1 x=a±1 По условию корни принадлежат промежутку [-5;5], т.е. -5 a-1 и a a и a a 4 [-4;4]