Финансовая статистика

Литература 1.Статистика финансов, под ред. Салина В.Н. - М.: Финансы и статистика 2.Четыркин Е.М. «Методы финансовых и коммерческих расчетов» – М.: Дело 3.Салин В.Н., Ситникова О.Ю. «Техника финансово-экономических расчетов» - М.:Финансы и статистика

Основные понятия и обозначения 1. Стоимостные: n present value (PV) - стоимость (капитал, денежная сумма) на начало операции, современная, настоящая стоимость ; n future value – (FV)- стоимость (капитал, денежная сумма) на конец операции будущая, наращенная стоимость; n - Доход - изменение капитала за время финансовой операции, (FV - PV);

2.Показатели времени операции Время финансовой операции (период сделки) - время от начала до окончания сделки n - если срок финансовой операции больше года (измеряется в годах); t – если срок финансовой операции меньше года (измеряется в днях); Y – продолжительность года в днях (месяцах, кварталах).

3.Показатели эффективности Процентная ставка (FV – PV) = I – процент

Учетная ставка (FV – PV) = D – дисконт

Задачи финансовой математики 1.Задача наращения (определения будущей стоимости); 2.Задача дисконтирования (определения современной стоимости); 3. Задача определения ставки доходности; 4. Задача определения срока финансовой операции;

Задача наращения Дано: PV; i (d); n (t) Определить: FV = ?

Задача дисконтирования Известно: FV; i (d); n (t) Определить: PV = ?

Задача определения величины ставки n Дано: PV; FV; n (t) n Определить: i=?; (d=?)

Задача определения срока операции n Дано: PV; FV; i (d) n Определить: n (t) = ?

Задача наращения по простой процентной ставке (i) Д ано: PV; i; n Определить: FV = ? PV i = I – простые, декурсивные, обычные проценты ( процентные деньги) за год Срок 1 год: FV = PV+PV i= PV(1+i) Срок 2 года: FV = PV+PV i +PV i= PV(1+2i) ………………… Срок n - лет : FV = PV+PV i + + PV i = PV(1 + n i)

Формула простых процентов Срок больше года FV = PV(1+n i) (1+n i) – множитель наращения

Срок меньше года (PV× i /Y)× t = I – проценты за время операции Будущая стоимость:

Задача наращения по простой учетной ставке (d) Д ано: PV; d; n Определить: FV = ? FV = PV + FV d + ……. + FV d= PV + FV n d

Cрок меньше года

Пример 1. Дано: PV = 10млн. руб.; n = 2 года; а) i = 10%, б) d = 10% Определить: FV= ? Решение: а) FV= 10 (1 + 2 х 0,1) = 12млн.р. б) FV = 10 / (1 – 2 х 0,1) = 12,5млн.р.

Пример 2. Дано: PV = 10млн. руб.; n = 10 лет; а) i = 10%, б) d = 10% Определить: FV= ? Решение: а) FV= 10 ( х 0,1) = 20млн.р. б) FV = 10/(1 – 10 х 0,1) =

Задача дисконтирования по простой процентной ставке ( Математическое дисконтирование) Дано: FV; i ; n (t) Определить: PV = ?

Пример 3. Дано: FV = 1,5млн. руб.; t =1 месяц; а) i = 12% ; Определить: PV= ? Решение: а) PV= 1,5: [1 +(1/12) х 0,12] = млн.р.

Задача дисконтирования по простой учетной ставке (Банковский учет) Известно: FV; d; n (t) Определить: PV = ? Срок больше года PV = FV(1-nd ) (1-nd ) – дисконтный множитель Срок меньше года PV = FV(1-t/Y d)

n Пример4 Дано: FV = 5млн.р.; d = 18%; n = 0,5года Определить: PV = ? D = ? n Решение: n PV = 5(1 - 0,5 х 0,18) = 4,55млн.р. n D = 5 – 4,55 = 0,45млн.р.

Задача определения ставки Дано: PV; FV; n (t) Определить: i (d) = ?; Процентная ставка

Учетная ставка

Пример 4. PV = 5млн.р.; FV = 7млн.р.; n=0,5 года; Определить эффективность вложения, если i банк = 70%

Определение срока операции Дано: PV; FV; i (d) Определить: n (t) = ? Срок больше года

Срок меньше года (t)

Пример 5. PV = 10млн.р.; FV=15 млн.р.; а)i = 20%;б)i = 200%; Определить: n (t)= ?

Проблемы практики расчетов n Определение срока для операций меньше года (t/Y): n Точные проценты – t и Y исчисляются точно по календарным дням n Банковские проценты – t - точно по календарным дням; Y – условно (360 дней в году); n Коммерческие проценты - t и Y принимаются условно – 30 дней в месяце и 360 дней в году.

Пример 6. Дано: PV = 10т. руб.; срок операции 1год. Год не високосный; i = 10% Определить: FV= ? (тремя способами)

Решение: а) точные проценты FV= 10 (1 + (365/365) х 0,1) = 11т.р. б) банковские проценты FV = 10(1+(365/360) х 0,1) = 11,0139т.р. в)коммерческие FV= 10 (1 + (360/360) х 0,1) = 11т.р

Процентные начисления с использованием постоянного делителя (дивизора)

Пример 7 Постоянные суммы и сроки их хранения: n 200т.р. – – (43 дня) n 250т.р. – (126 дней) n 170т.р. – – (21 день) n Процентные числа: 200х43=8600 n 250х126=31500 n 170х21= 3570 n Дивизор:360/0,08=4500 n I = ( ) / 4500 = 9,70т.р. n FV = ,70 = 179,70т.р.

Эквивалентность простых процентных и учетных ставок

Простая процентная ставка эквивалентная простой учетной ставке

Простая учетная ставка эквивалентная простой процентной ставке

Пример 8. Дано: t = 3 месяца; (коммерческие проценты) а) d = 100%; б) i = 120% Сравнить эффективность операций. Решение. 1,0 i = х 100 = 133,3% 1 – (3/12) х 1,0 133,3% > 120%

Пример 9. Дано: PV 1 =100т.р.; n 1 = 0 FV 2 =200т.р.; n 2 = 1 i = 10% Что предпочтительнее ? Решение.

Сложные проценты

Задача наращения по сложной процентной ставке Период начисления один год Срок больше года 1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i) 2 года - FV = PV(1+i)+PV (1+i)i = PV(1+i)(1+i) = = РV(1+i) 2 3 года - FV = PV(1+i) 2 +PV(1+i) 2 i = PV(1+i)(1+i)(1+i)= = РV(1+i) ³ n лет - FV = PV(1+i)(1+i)……….(1+i) =РV(1+i) n

Задача наращения по сложной процентной ставке Период начисления один год Срок больше года n 1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i) n 2 год - FV = PV(1+i)+PV (1+i)i = PV(1+i)(1+) = PV(1+i)( 2 n 3 год - FV = PV(1+i) 2 +PV(1+i) 2 i = PV(1+i)³ n n лет - n FV = PV(1+i) n n (1+i) n - множитель наращения

Период начисления меньше года ( m-кратное начисление процентов) J m – номинальная ставка, начисляемая m-раз в год Продолжительность операции один год: на конец первого периода начисления – FV = PV+PVj/m= PV(1+j/m) через m-периодов FV = PV(1+j/m) m Продолжительность операции n - лет: FV = PV(1+j/m) (m х n)

Эффективная процентная ставка (1 + i э ) n = (1+j/m) mn (1 + i э ) = (1+j/m) m i э = (1+j/m) m –1

Вычисление номинальной ставки, начисляемой m-раз в год на основе эффективной ставки.

П ример 1. Дано: PV = 10т.р. а) i=10% б) J 2 = 10%; в) J 4 = 10%; г) J 12 = 10%; Определить: FV = ?; i э = ? Решение. а) FV = 10(1+0,1) = 11,0т.р

Пример 1. Продолжение б) FV = 10(1+0,1/2) 2 = 11,025т.р. iэ = (1+(0,1)/2) 2 –1 = 1,025 (10,25%) в) FV = 10(1+ (0,1)/4) 4 = 11,038т.р. iэ = (1+ (0,1)/4) 4 –1 = 1,038 (10,38%) г) FV = 10(1+ (0,1)/12) 12 = 11,047т.р. iэ = (1+(0,1)/12) 12 –1 = 1,047 (10,47%)

Непрерывное начисление процентов Множитель наращения: Где: δ - сила роста (номинальная ставка) - основание натуральных логарифмов (2,718…)

Будущая стоимость:

Пример 4. Дано: PV = 10т.р. ; δ = 10% Определить: FV = ?; i э = ? Решение. FV = 10 0,1 = 10 х (2, 718…) 0,1 =11,052т.р. i э = (2, 718…) 0,1 –1 = 0,1052 (10,52%)

Наращение по сложной учетной ставке Срок операции больше года

Задача дисконтирования по сложной процентной ставке (математическое дисконтирование)

П ример 2. Дано: а)PV = 10т.р.; n=0 б)20т.р.;n=4 i=10% Определить: Что предпочтительнее? Решение: б) FV = 20/(1+0,1) 4 = 13,66т.р

Задача дисконтирования по сложной учетной ставке (банковский учет) Срок операции больше года Начисление ставки один раз в год: PV = FV(1-d) n

m-кратное начисление ставки f m – учетная ставка, начисляемая m – раз в год PV = FV(1-f/m) (m х n)

Эффективная учетная ставка (1-d Э ) = (1-f/m) m d Э = 1- (1-f/m) m

Пример 3. Дано: FV = 20т.р.; n = 5 лет; f 4 = 5% Определить: PV = ?; dэ = ? Решение: PV = 20 х (1 – (0,05/4) 4x5 = 15,552т.р. dэ = 1 - (1 – (0,05/4) 4 = 0,049 4,9%

Определение величины сложных ставок

Определение сложной процентной ставки

Определение сложной учетной ставки

Определение срока финансовой операции

Определение срока финансовой операции при наращении по сложной процентной ставке

Эквивалентность процентной и учетной сложной ставки (начисление один раз в году)

Эквивалентность процентной и учетной сложной ставки (m-кратное начисление)

Эквивалентность простых и сложных процентных ставок, (m-кратное начисление)

Эквивалентность простых и сложных процентных ставок (m-кратное начисление)

Учет инфляции при определении эффективности финансовых операций (I цен – 100) = Y(%) – уровень инфляции за период

Исчисление будущей стоимости с учетом инфляции

Ставка фактической доходности

Пример 4 PV= 100т.р. i = 90%; Yгод = 50%

Пример 4. Продолжение

Планирование погашения задолженности

Расчеты по погашению потребительского кредита Возврат единовременным платежом

Планирование погашения задолженности Возврат несколько раз в году

Пример: PV=1.5млн.р. n = 2 года; j 2 = 10%;p =2

Наращенная стоимость этих платежей

Погашение долга равными суммами основного долга (1500:4=375) ГодОстаток на начало года Погашение долга ПроцентСрочная выплата , итого

Пример: PV=1.5млн.р. n = 2 года; j 2 = 10%;p =2

Погашение долга равными платежами ГодОстаток на начало года Погашение долга ПроцентСрочная выплата итого