Решение заданий В13 (задачи на проценты) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова

В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Решение. В 2008 году: чел. – 100 % В 2009 году: х чел.– 108 % Откуда х = · 108 /100 = чел. В 2009 году: чел.– 100 % В 2010 году: у чел.– 109 % Откуда у = · 109 /100 = чел. Ответ:

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Решение. До понедельника: х руб.– 100 % В понедельник: ? руб.– (100 + t) % Откуда ? = руб. В понедельник: руб.– 100 % Во вторник: ? руб.– (100 – t) % Откуда ? = руб. До понедельника: х руб. – 100 % Во вторник:руб. – (100 – 4) % I II III

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Решение. (продолжение) До понедельника: х руб.– 100 % Во вторник:руб.– 96 % Получим уравнение: – не удовлетворяет III :х Ответ: 20.

Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? Решение. Пусть х руб. – стоимость одной рубашки, тогда 4х – 92 % от стоимости куртки х – 23 % от стоимости куртки 5х – 115 % от стоимости куртки, что на 15% дороже самой куртки Ответ: 15.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Решение. (1 способ) Пусть х% – составляет зарплата мужа, У% – зарплата жены z% – стипендия дочери, тогда общий доход семьи х = 67 % 100 = ×3 х + у + z + 2x + 2y = 288 = 100

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Ответ: 27. Решение. (продолжение)

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Ответ: 27. Решение. (2 способ) Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% 67% 6% = 27% дохода семьи.

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей. Решение. Первоначальная цена: руб. – 100 % Через один год: ? руб. – (100 – t) % Откуда ? = руб. Через один год: 200(100 – t) руб. – 100 % Через два года: руб. – (100 – t) % Получаем уравнение: – не удовлетворяет Ответ: 11. I II

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон рублей, Гоша 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях. Решение. Уставной капитал: руб.– 100% Митя:– 14% Гоша:– 12% Антон: руб.– Борис: остальное– Антон внес: · 100 / = 21% уставного капитала. Тогда Борис внес 100 – ( ) = 53% уставного капитала. Таким образом, от прибыли рублей Борису причитается · 53 /100 = рублей. Ответ: % 21%

В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение. Весь раствор: 5 л – 100 % Вещество: х л – 12 % Откуда х = 5· 12 /100 = 0,6 л – вещества в растворе Весь раствор: л – 100 % Вещество: 0,6 л – у % Откуда у = 0,6 · 100 /12 = 5% Ответ: 5.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение. Первый раствор: х – 100 % Вещество: ? – 15 % Откуда ? = 15 · х /100 = 0,15х – вещества в I растворе Второй раствор: х – 100 % Вещество: ? – 19 % Откуда ? = 19 · х /100 = 0,19х – вещества во II растворе Третий раствор: 2х – 100 % Вещество: 0,15х + 0,19х – у % Откуда у = 0,34х · 100 /2х = 17% – концентрация нового раствора Ответ: 17.

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение. Первый раствор: 4 л – 100 % Вещество: х л – 15 % Откуда х = 15· 4 /100 = 0,6 л – вещества в I растворе Второй раствор: 6 л – 100 % Вещество: у л – 25 % Откуда у = 25 · 6 /100 = 1,5 л – вещества во II растворе Третий раствор: 10 л – 100 % Вещество: 0,6 + 1,5 л – z % Откуда z = 2,1 · 100 /10 = 21% – концентрация нового раствора Ответ: 21.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Решение. Виноград: х кг – 100 % Влага: – 90 % Сухое вещество: ? кг – 10 % Откуда ? = 10 · х /100 = 0,1х кг – сухого вещества в винограде Изюм: 20 кг – 100 % Влага: – 5 % Сухое вещество: 0,1х кг – 95 % Откуда 0,1х · 100 = 20 · 95 х = 190 кг – винограда Ответ: 190.

Решение. Первый сплав: х кг – 100 % Никель: ? кг – 10 % Откуда ? = 10 · х /100 = 0,1х кг – никеля в I сплаве. Второй сплав: 200 – х кг – 100 % Никель: ? кг – 30 % Откуда ? = 30 · (200 – х) /100 = 0,3(200 – х) кг – никеля во II сплаве. Третий сплав: 200 кг – 100 % Никель: 0,1х + 0,3(200 – х) кг – 25 % Получаем уравнение: 200 · 25 = (0,1х + 0,3(200 – х)) · 100, откуда х = 50 кг – никеля в I сплаве; 200 – 50 = 150 кг – масса второго сплава; значит, масса первого сплава на 150 – 50 = 100 кг меньше. Ответ: Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение. Первый сплав: х кг – 100 % Медь: ? кг – 10 % Откуда ? = 10 · х /100 = 0,1х кг – меди в I сплаве. Второй сплав: х + 3 кг – 100 % Медь: ? кг – 40 % Откуда ? = 40 · (х + 3) /100 = 0,4(х + 3) кг – меди во II сплаве. Третий сплав: 2х + 3 кг – 100 % Медь: 0,1х + 0,4(х + 3) кг – 30 % Получаем уравнение: (2х + 3) · 30 = (0,1х + 0,4(х + 3)) · 100, откуда х = 3 кг – масса I сплава; тогда 2 · = 9 кг – масса третьего сплава. Ответ: Первый сплав содержит 10% меди, второй 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение. Первый раствор: х кг – 100 % Кислота: ? кг – 30 % Откуда ? = 30 · х /100 = 0,3х кг – кислоты в I растворе. Второй раствор: у кг – 100 % Кислота: ? кг – 60 % Откуда ? = 60 · у /100 = 0,6у кг – кислоты во II растворе. Третий раствор: х + у + 10 кг – 100 % Кислота: 0,3х + 0,6у кг – 36 % Получаем 1-ое уравнение: (х + у + 10) · 36 = (0,3х + 0,6у) · Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50- процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41- процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30- процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение. Четвертый раствор: 10 кг – 100 % Кислота: ? кг – 50 % Откуда ? = 50 · 10 /100 = 5 кг – кислоты в IV растворе. Пятый раствор: х + у + 10 кг – 100 % Кислота: 0,3х + 0,6у + 5 кг – 41 % Получаем 2-ое уравнение: (х + у + 10) · 41 = (0,3х + 0,6у + 5) · 100. Составим систему уравнений: Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50- процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41- процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30- процентного раствора использовали для получения смеси? Ответ: 60.

Решение. Первый раствор: 30 кг – 100 % Кислота: ? кг – х % Откуда ? = 30 · х /100 = 0,3х кг – кислоты в I растворе. Второй раствор: 20 кг – 100 % Кислота: ? кг – у % Откуда ? = 20 · у /100 = 0,2у кг – кислоты во II растворе. Третий раствор: 50 кг – 100 % Кислота: 0,3х + 0,2у кг – 68 % Получаем 1-ое уравнение: (0,3х + 0,2у) · 100 = 50 · Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение. (продолжение) Для удобства возьмем каждого раствора по 10 кг: Четвертый раствор: 20 кг – 100 % Кислота: 0,1х + 0,1у кг – 70 % Получаем 2-ое уравнение: (0,1х + 0,1у) · 100 = 20 · 70. Составим систему уравнений: 0,3 · 60 = 18 кг – кислоты в первом сосуде Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Ответ: 18.

Использованы материалы: