ПОВТОРЕНИЕ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ Тема 23.1 – 23.2

Дайте определение: Логика - … Алгебра логики - … Кто является основателем алгебры логики? Кто является развили и продолжил изучение алгебры логики? Как называется её разновидность? Высказывание - … Какие значения может принимать высказывание?

Рассмотрим примеры : · = Я сижу за компьютером 4. В атаку! 5. 5х – 6 = > х < Здравствуйте 9. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат на одной плоскости и не пересекаются

Рассмотрим примеры : · 4 (не является высказыванием – нельзя сказать 1 или 0) = (высказывание, 1) 3. Я сижу за компьютером (высказывание, 1) 4. В атаку! (не является высказыванием - восклицательное) 5. 5х – 6 = 9 (не является высказыванием – есть переменная) 6. 9 > 12 (высказывание, 0) 7. х < 43 (не является высказыванием – есть переменная) 8. Здравствуйте (не является высказыванием – нельзя сказать 1 или 0) 9. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат на одной плоскости и не пересекаются (не является высказыванием, так как определение)

Рассмотрим следующие основные понятия логики: простые и сложные высказывания. Запишите определение: Простое высказывание – это высказывание, в котором никакая его часть не является высказыванием (обозначение p, q, h, r, s, t…). Если это условие не выполняется, то высказывание называется сложным. Рассмотрим примеры простых и сложных высказываний : 1. На улице хорошая погода (простое) 2. Когда я пойду домой, по дороге куплю хлеб (сложное, состоит из двух простых: «я пойду домой» и «я по дороге куплю хлеб») 3. Если из двух вычесть пять, то получится восемь (простое: «из двух вычесть пять» и «получится восемь» – сами по себе не являются высказываниями) 4. Если 2+3=5 - истина, то 5=2+3 – тоже истина (сложное: «2+3=5 - истина» и «5=2+3 – тоже истина»).

Рассмотрим следующие примеры сложных высказываний и связь между простыми высказываниями: 1. Если 12 делится на 6, то делится и на 3 (простые высказывания: «12 делится на 6» и «12 делится на 3»; связь «если, то»). 2. На улице льёт дождь или светит солнце (простые высказывания: «на улице льёт дождь» и «на улице светит солнце»; связь «или») 3. Дома отключили свет и воду (простые высказывания: «дома отключили свет» и «дома отключили воду»; связь «и») 4. Два числа равны тогда и только тогда, когда их разность не равна нулю (простые высказывания: «два числа равны» и «разность двух чисел не равна нулю»; связь «тогда и только тогда, когда» и «не»)

Пометьте, что «не», «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда» - логические связки. Над простыми высказываниями можно производить элементарные логические операции. Запишите: Сложные высказывания получают из простых (истинных или ложных) при помощи элементарных логических операций. Сложные высказывания так же будут истинными или ложными. Давайте повторим логические операции. Рассмотрим такое понятие, как таблица истинности.

Таблица истинности В этой таблице расписываются значения: простых высказываний (с помощью которых составлено данное сложное высказывание); промежуточных сложных высказываний (тех, которые ещё не являются данным окончательным высказыванием); данного сложного высказывания. Значения простых высказываний расписываются следующим образом: Запишите : 1. Если сложное высказывание А состоит из одного простого высказывания р, то (по определению высказывания) значения высказывания – это 0 и 1. р…А 0… знач ения А 1…

2. Если сложное высказывание А состоит из двух простых р и q, то (по определению высказывания) значения высказывания p – это 0 и 1 и значения высказывания q – это тоже 0 и 1. Но ведь при p принимающем значения 0, q может принимать значения и 0 и 1. Аналогично при значении р, равном 0 – q может быть и 0 и 1. рq…А …знач ения А … … … Заполнить значения p и q поможет следующая схема: p имеет значения 0 и 1 (по определению). при значении 0 высказывания p высказывание q может принимать значения 0 и 1. и при значении 1 высказывания p высказывание q может принимать значения 0 и 1. Осталось только записать комбинации значений в таблицу, двигаясь по линиям: 0 – 0,0 – 1,1 – 0,1 – 1.

3. Аналогичным образом можно записать значения трёх простых высказываний p, q и r в таблицу истинности. …А … … … … … … … … Если сложное высказывание состоит из четырёх и более простых высказываний, значения этих высказываний расписываются аналогично. Можно заметить, что если сложное высказывание состоит из одного простого, то после шапки вниз идёт две строки, из двух – четыре, из трёх – восемь. Таким образом, можно вывести формулу для n-го количества простых высказываний: k = 2 n, где k – количество строк без шапки.

Теперь рассмотрим, как составляются таблицы истинности для сложных высказываний. Рассмотрим пример: Запишите: Пример: составить таблицы истинности для следующих высказываний: Так как в этом сложном высказывании участвует только одно простое (р), то после шапки вниз пойдёт ещё две строчки. Заполним значения высказывания р: по определению это 0 и 1. Теперь рассмотрим нашу формулу: скобок в ней нет, значит действия выполняем по порядку:,,,,. Сначала отрицание р : по определению 0 меняется на 1, 1 на 0 Следующий шаг должен бы быть отрицание дизъюнкции, НО невозможно определить значения отрицания дизъюнкции, если неизвестны значения самой дизъюнкции! По определению дизъюнкция ложна, когда левая и правая части (составляющие эту дизъюнкцию) ложны. В нашем случае везде истина. Теперь отрицание дизъюнкции. Подумайте, почему получены именно такие значения… Следующее действие – конъюнкция. Слева от неё – отрицание дизъюнкции, справа – отрицание р. Поэтому рассматриваем значения второго и четвёртого столбика Конъюнкция истинна, когда обе части её составляющие истинны. Следующее и последнее действие – импликация. В шапке запишется вся формула. Левая часть – первый столбик, правая – пятый. Импликация ложна, когда левая часть истинна, а правая – ложна (или из истины следует ложь). В нашем случае: 0 – 0 – истина (1), 1 – 0 – ложь (0). Таким образом таблица истинности для данного высказывания построена.