Моделирование полупроводникового диода П.В. Корякин Научный руководитель: к.ф.-м.н. Е.А. Альшина

План доклада I.Введение II.Диффузионно-дрейфовая модель III.Бикомпактные схемы и слоистые среды IV.Диагностика особенностей при численном решении диф. уравнений V.Расчёты статических и динамических характеристик полупроводникового диода VI.Основные результаты

np Полупроводники log концентрации x дырки электроны E

Кремневая пластина S=1e-3 кв. см. d=8 мкм Рассматриваемый прибор 8 мкм легирование электронамилегирование дырками

Рассматриваемый прибор

Процесс легирования Свет SiO 2 Si Фоторезист HF

Диффузионно-дрейфовая модель

Модель - концентрация дырок - концентрация электронов - плотность дырочного тока - плотность электронного тока - напряженность поля

Модель Граничные условия

Бикомпактные разностные схемы и слоистые среды

Основная идея nn-1n+1 h Среда 1Среда 2 В точке, где свойства среды меняются скачкообразно, приходится делать аппроксимацию через разрыв коэффициентов, что приводит к локальному понижению точности аппроксимации и как следствие к понижению точности всего расчета Идея бикомпактных схем заключается в том, чтобы использовать лишь двухточечный шаблон.

Пример построения бикомпактных схем

Пример построения бикомпактной схемы Задача построения схемы заданного порядка точности по пространству сводится ко взятию интегралов в правых частях с нужной точностью

Полученную систему можно непосредственно интегрировать по времени, однако придется решать систему уравнений довольно непривычного вида; кроме того, потребуется задавать начальный профиль не только для температуры, но и для потока. Чтобы избавиться от необходимости задавать начальный профиль потока и одновременно привести систему к привычному виду, проведём ряд преобразований, в результате чего получив следующую систему уравнений: Схема 2-го порядка точности по пространству

Спектр схемы Хотя полученная схема очень похожа на классическую схему для теплопроводности, её незначительные отличия приводят к очень интересному результату: спектр пространственного оператора бикомпактной схемы существенно лучше спектра классической схемы! Подробное исследование устойчивости всех схем будет проведено ниже.

Схема 4-го порядка точности по пространству

Исследование устойчивости

Множители роста

Иллюстрация спектра

Вид сетки Равномерная Пилообразная, с соотношением шагов ½ Среда Сплошная Слоистая Начальный профиль Гладкий Ступенька Примеры расчётов

Примеры расчетов Схема второго порядка точности по пространству Слоистая среда Разрывный начальный профиль Пилообразная сетка

Примеры расчетов Схема четвёртого порядка точности по пространству

Структура ошибки u0u0 СредаСетка Порядок точности решения P eff после первого уточнения P eff после второго уточнения P eff после третьего уточнения гладк./ разр. сплош./ слоист. равномерн.2468 гладк./ разр. сплош./ слоист. пилообр.2345 u0u0 СредаСетка Порядок точности решения P eff после первого уточнения P eff после второго уточнения P eff после третьего уточнения гладк.сплош. равномерн./ пилообр гладк./ разр. слоист. равномерн./ пилообр разр.сплош. равномерн./ пилообр. 2468

Диагностика особенностей точных решений при численном решении ОДУ

Пример проблемы Поведение решения в зависимости от значения

Схема Рунге-Кутта порядка точности O (ERK1) Явные схемы

Одностадийная схема Розенброка CROS

Схема CROS для задач с сингулярностью 0,00,51,01,52, u(t) t

Определение типа особенности p eff = – Для степенной особенности можно показать, что Для логарифмической особенности p eff = 0

Разрывы производных

Эффективный порядок точности в контрольных точках ROS1CROSERK1ERK2ERK4 p

Эффективный порядок точности в контрольных точках после первого уточнения CROSERK

Бикомпактная схема для диффузионно-дрейфовой модели

Описание схемы

Структура матриц …

Результаты расчетов

Публикации 1.Калиткин Н.Н., Корякин П.В.Одномерные и двумерные бикомпактные схемы в слоистых средах // Математическое моделирование, 2009 г., т. 21, 8, стр Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Бикомпактные схемы и слоистые среды. // ДАН, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей точного решения методом сгущения сеток.// ДАН, 2005 г., т. 404, 3, с Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности.// ЖВМиМФ, 2005 г., т. 45, 10 с Альшина Е.А., Корякин П.В. Численный метод для режимов с обострениями. // Тезисы докладов II всероссийской конференции памяти А.Ф. Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Абрау-Дюрсо, 2004, с P.V. Koryakin The singularity diagnostics in numerical solving systems of ODE, International congress for mathematicians, Madrid, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей решения при расчетах схемой CROS. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005», секция физика, сборник тезисов, часть 1, стр

Основные результаты Построен и исследован новый тип разностных схем применительно к уравнению теплопроводности. Построены схемы разных порядков точности. Исследована устойчивость схем. Теоретические проработаны подходы построения бикомпактных схем для двумерных задач. Разработана уникальная методика диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведены расчеты, подтверждающие возможность расширения методики для диагностики особенностей при решений систем ОДУ и уравнений в частных производных. Построенные численные методы применены к расчетам диффузионно- дрейфовой модели полупроводникового диода.