ГОУ СОШ «Школа надомного обучения»367 Зеленоградского округа города Москвы Конкурс Исследовательских и проектных работ «Умники и умницы» Измерение высоты дерева и ширины реки. (предметная область: геометрия) Автор работы: Шувалова Василиса, 7 класс (надомная форма обучения). Руководитель работы: Быстрова Ольга Николаевна Москва, 2011

1. Введение. 2. Цель работы. 3. Измерение высоты дерева По длине тени При помощи простого булавочного прибора 3.3. При помощи шеста При помощи записной книжки Измерение высоты дерева, не приближаясь к дереву. 4. Геометрия реки. 5. Заключение. 6. Список литературы.

Геометрия – одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - земля, «метрео» - мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям.

Целью работы служит рассмотреть применение геометрии на практике. В своей работе рассматриваю следующие вопросы: 1. Измерение высоты дерева (несколькими способами). 2. Измерение ширины реки.

Существует множество различных способов измерения высоты дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений. Самый лёгкий и самый древний способ – без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался её тенью. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени.

А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было узнать некоторые геометрические свойства треугольника, именно следующие два: 1. что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою. 2. Что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.

Только вооружённый этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и следовательно, вершина пирамиды, середина её основания и конец её тени должны обозначить равнобедренный треугольник. Способ Фалеса в указанном виде применим не всегда, так как солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев. Нетрудно, однако, изменить этот способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:

AB : А 1 В 1 = BC : В 1 С 1 т.е. высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени. Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и А 1 В 1 С 1. Рис.1 Измерение высоты дерева

Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без помощи теней. Таких способов много; начнём с двух простейших. Прежде всего мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника, обратившись к услугам весьма простого прибора, который легко изготовить из дощечки и трёх булавок. На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три точки – вершины равнобедренного треугольника – и в них втыкают торчком по булавке (рис.2).

Пусть у вас нет под рукой чертёжного треугольника для построения прямого угла, нет циркуля для отложения равных сторон. Перегните тогда любой лоскут бумаги один раз, а затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, - и получите прямой угол. Та же бумага пригодится вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния. Рис.2 Булавочный прибор для измерения высот

Обращение с ним не сложнее изготовления. Отойдя от измеряемого дерева, держите прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можете пользоваться ниточкой с грузиком, привязанной к верхней булавке. Рис.3 Схема применения булавочного прибора. Приближаясь к дереву или удаляясь от него, вы всегда найдёте такое место А (рис.3), из которого, глядя на булавки А 1 и С 1, увидите, что они показывают верхушку С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы А 1 С 1 проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние А 1 В равно СВ, так как угол а=45 0. Следовательно, измерив расстояние А 1 В и прибавив ВD, т.е. возвышение А 1 А глаза над землёй, получите искомую высоту дерева.

По другому способу вы обходитесь даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который вам придётся воткнуть в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лежа, как показано на (рис.4), вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник АВ 1 С 1 – равнобедренный и прямоугольный, то угол А=45 0 и, следовательно, АВ равно ВС, т.е. искомый высоте дерева. Рис.4

В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты вы можете использовать и свою карманную записную книжку, если она снабжена карандашом, всунутым в чехлик или петельку при книжке. Она поможет вам построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжка должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а, видеть вершину В дерева покрытой кончиком В 1 карандаша (рис. 5). Рис. 5 Измерение высоты дерева при помощи записной книжки

Тогда вследствие подобия треугольников А 1 В 1 С 1 и А 1 BC высота ВС определиться из пропорции ВС: В 1 С 1 = А 1 C: А 1 С 1 Расстояние В 1 С 1,А 1 С 1 и А 1 С измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить ещё одну длину СD, т.е. – на ровном месте – высоту глаза над почвой. Так ширина А 1 С 1 книжки неизменна, то если вы будете всегда становиться на одном и том е расстоянии от изменяемого дерева, высота дерева (например, 10м) будет зависеть только от выдвинутой части В 1 С 1 карандаша. Поэтому вы можете заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш. Ваша записная книжка превратится тогда в упрощённый высотомер, так как вы сможете при её помощи определять высоты сразу, без вычислений.

Измерение ширины реки Не переплывая реки, измерить её ширину – так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Непреступное расстояние измеряют теми же приёмами, какими мы измеряли недоступную высоту. В этих случаях определение искомого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению. Из многих способов решения этой задачи рассмотрим несколько наиболее простых.

1. Для первого способа понадобится уже знакомый нам «прибор» с тремя булавками на вершинах треугольника. Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис.7), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок и заметьте точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. рис.7

Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок и заметьте точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль прямой СD, пока не найдёте на ней такую точку Е (рис.8), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а – точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С – прямой, а угол Е равен острому углу булавочного прибора, т.е. ½ прямого. Очевидно, и угол А равен – прямого, т.е. АС=СЕ. рис.8

2. Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым углом к СА. Но дальше поступают иначе (рис.9). На прямой СD отмеряют равные расстояния СУ и ЕF произвольной длины и втыкают в точки Е и F вехи. Став затем в точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное к FC. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н,Е и А лежат на одной прямой.

. Рис.9 Задача решена: расстояние FH равно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки. Этот способ требует больше места, сем первый; если местность позволяет осуществить оба приёма, полезно проверить один результат другим.

3.Третий способ, описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой СF не равные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например, (рис.10) отмеряют FE в четыре раза меньше ЕС, а далее поступают по-прежнему: по направлению FG, перпендикулярному к FC, отыскивают точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Но теперь уже FH не равно АС, а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и ЕFH здесь не равны, а подобны. Рис.10

Из подобия треугольников следует пропорция АС : FH = СУ : УF = 4 : 1 Значит, измерив FH и умножив результат на 4, получим расстояние АС, а отняв ВС, узнаем искомую ширину реки. Этот способ требует, как мы видим, меньше места и потому удобнее для выполнения, чем предыдущий.

4. Четвёртый способ основан на том свойстве прямоугольного треугольника, что если один из его острых углов равен 30', то противолежащий катет составляет половину гипотенузы. Убедиться в правильности этого положения очень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника АВС равен 30'; докажем, что в таком случае АС=1/2АВ. Повернём треугольник АВС вокруг ВС так, чтобы он расположился симметрично своему первоначальному положению (рис.11), образовав фигуру АВD; линия АСD – прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В треугольнике АВD угол А=60', угол АВD, как составленный из двух углов по 30', тоже равен 60'. Значит, АD=BD как стороны, лежащие против равных углов. Но АС=1/2AD; следовательно, АС=1/2АВ.

Рис. 11 Желая воспользоваться этим свойством треугольника, мы должны расположить булавки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы.

Рис. 12 С этим прибором мы помещаемся в точке С (рис.12) так, чтобы направление АС совпадало с гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль короткого катета этого треугольника, намечают направление СD и отыскивают на нём такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к СD. Легко сообразить, что расстояние СУ – катет, лежащий против угла 30', - равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это расстояние и отняв ВС, получим искомую ширину АВ реки.

Вот четыре легко выполнимых приёма, при помощи которых всегда возможно, не переправляясь на другой берег, измерить ширину реки со вполне удовлетворительной точностью. Способов, требующих употребления более сложных приборов, мы здесь рассматривать не будем.

Геометрия возникла на основе практической деятельности, поэтому важно знать как при помощи геометрии измерить некоторые величины. Целью работы служит рассмотреть применение геометрии на практике. Рассмотренные примеры в работе позволяют измерить высоту дерева несколькими способами, не залезая на него (по длине тени, при помощи простого булавочного прибора, при помощи записной книжки), измерить ширину реки и глубину пруда. Данная работа важна тем, что наглядно показывает, что геометрия – это не просто школьный предмет, а наука, находящая применение в жизни. Практическое применение работы состоит в том, чтобы использовать знания и умения в решении задач по геометрии, расширении кругозора учащихся.