Линия уравнений и неравенств школьного курса математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики Тема 3

План 1.Общие подходы к изучению уравнений и неравенств 2.Формирование представлений об общих методах уравнений 3.Метод уравнений и неравенств в обучении математике

Подходы к определению понятия уравнения Функциональный подход Уравнением с одним неизвестным называется равенство вида f(x) = g(x) Число x 0 называется корнем уравнения, если это число принадлежит области допустимых значений неизвестного и справедливо числовое равенство f(x 0 ) = g(x 0 )

Подходы к определению понятия уравнения Предикатный подход (через высказывательную форму) Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнением Значение неизвестного числа, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения

Подходы к определению понятия уравнения При любом из подходов к определению уравнения суть действия решения уравнения трактуется одинаково: решить уравнение – значит найти все его корни или докадать, что их нет

Связь понятия «уравнение» с понятием «тождество» Уравнение называется тождеством, если любое число является его решением (отражен первый подход к определению тождества) Уравнение вида f(x) = g(x) называется тождеством, если множество решений этого уравнения совпадает с областью определения данного уравнения (отражен второй подход к определению тождества)

Основные тенденции в изучении уравнений Более раннее систематическое изучение уравнений (начиная с начальной школы); Расширение объема и сложности решаемых уравнений младшими школьниками; Вариативность последовательности изучения отдельных вопросов линии.

Два основных процесса, сопровождающих обучение Постепенное возрастание классов уравнений и неравенств, приемов их решения, преобразований. Применяемых при решении. Установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более общих сприемов преобразований, упрощение описания и обоснования решения.

Смысл выделения основных классов уравнений и неравенств За счет стандартизации формы задания «общего вида» уравнения можно записывать ответы формулой или привести простое описание действий, приводящих к решению Изучение каждого из классов имеет определенную нагрузку в формировании понятия «решение уравнений», постепенно обогащает алгоритмический и эвристический опыт учащихся.

Общая идея решения любого уравнения, не являющегося простейшим уравнением какого-либо типа Решение любого уравнения осуществляется в два этапа: Преобразование данного уравнения (неравенства) к простейшему виду – эвристический этап; Решение простейшего уравнения (неравенства) по известным формулам, алгоритмам или правилам – алгоритмический этап.

Основное направление процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств Организация имеющихся у учащихся знаний и опыта в единую целостную систему, позволяющую распознавать возможности сведения более сложных уравнений к простейшим известных типов.

Задания на формирование умения определять способ решения уравнения Для группы уравнений указать возможный способ решения (сами решения не приводить); После предварительного анализа внешнего вида уравнения и способа решения решить уравнение

Основные приемы преобразования уравнений Раскрытие скобок; Перенос слагаемых; Приведение подобных слагаемых; Умножение обеих частей уравнения на выражение или число, отличное от нуля; Возведение в степень

Основные методы решения уравнений Разложение на множители; Замена переменных; Сведение к системе уравнений и неравенств; Функциональный; Графический.

С точки зрения деятельностного подхода к обучению именно формированию обобщенных приемов решения уравнений и следует обратить внимание.

Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 5-6 класс Обобщенный прием решения уравнений первой степени с одной переменной. Обобщенный прием решения уравнений с модулем

Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 7-9 класс Обобщенный прием решения неравенств первой степени с одной переменной и их систем. Обобщенный прием решения уравнений и неравенств второй степени с одной переменной. Обобщенный прием решения рациональных уравнений с одной переменной. Обобщенный прием решения дробно-рациональных уравнений с одной переменной. Обобщенный прием решения иррациональных уравнений с одной переменной.

Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики класс Обобщенный прием решения иррациональных неравенств с одной переменной. Обобщенный прием решения показательных уравнений и неравенств. Обобщенный прием решения логарифмических уравнений и неравенств. Обобщенный прием решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Обобщенный прием решения линейных уравнений (неравенств) с одной переменной 2.Найти х = - b/а (х > - b/а, а >0 и х < - b/а, а < 0 ) 3. Записать ответ. 1.Определить, является ли уравнение (неравенство) линейным, т.е. вида ах + b = 0 (ах + b> 0), а 0 если «да», то если «нет», тонет

2. Установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение (неравенство) к линейному: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, разложение на множители 3. Привести с помощью выбранных преобразований уравнение (неравенство) к линейному 4. Найти х = - b/а (х > - b/а, а >0 и х < - b/а, а < 0 ). 5. Записать ответ.

Этапы процесса обобщения приемов решения уравнений 1.решение простейших уравнений данного вида; 2.анализ действий, необходимых для их решения; 3.вывод алгоритма (правила, формулы) решения и запоминание его; 4.решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими; 5.анализ действий, необходимых для их решения; 6.формулировка частного приема решения;

Этапы процесса обобщения приемов решения уравнений 7.применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца; 8.работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе; 9.сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения; 10.применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Метод «уравнений и неравенств» в обучении математике Метод уравнений и неравенств является главным средством для овладения учащимися основами математического моделирования, т.к. В нем наиболее ярко и выпукло отражаются все характерные черты процесса математического моделирования; Уравнения, неравенства и их конструкции являются моделями очень многих явлений.

Цель изучения метода «уравнений и неравенств» формирование у учащихся умений математизации реальных ситуаций, установление внутрипредметных и межпредметных связей, формирование системности знаний

Суть метода «уравнений и неравенств» Установление основных связей и зависимостей, характеризующих явление или процесс (т.е. построение словесной модели явления или процесса). Перевод словесной модели на язык математики, при котором выявленные связи и зависимости записываются в виде уравнений, неравенств или из конструкций (т.е. построение математической модели). Решение поставленной задачи в рамках математической модели: решение уравнений, неравенств или их конструкций. Перевод решения на язык, на котором была сформулирована задача (т.е. установления соответствия полученного результата исходному явлению).

Две стороны любого метода Объективная – связанная с системой знаний, без которой метода не существует. Субъективная – связанная с системой действий, реализация которой ведет к достижению результата, и средствами осуществления этих действий.

Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Знания об уравнениях, неравенствах и их конструкциях, а именно : –понятия уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств, корня уравнения, решения неравенства, равносильных уравнений или неравенств; –свойства числовых равенств и неравенств; –виды уравнений и неравенств и способы их решения;

Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Знание зависимостей между основными величинами, Свойств геометрических фигур и других объектов, изучаемых в школьном курсе математики. Умения, связанные с решением уравнений и неравенств, а именно: –получение уравнений или неравенств, равносильных данному; –выбор рационального способа решения;

Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Умение составлять уравнения или неравенства в соответствии с свойствами объектов или зависимостями между величинами; Умение интерпретировать результаты решения уравнений или неравенств в соответствии с условиями задачи

Субъективная сторона метода «уравнений и неравенств» Выбор и обозначение одной или нескольких неизвестных величин; Выражение через выбранные величины других неизвестных величин с учетом связей и зависимостей, зафиксированных в словесной модели; Составление решающей модели (уравнения, неравенства или их конструкций); Решение составленной модели; Исследование полученного результата.

Методические задачи, связанные с овладением учащимися методом «уравнений и неравенств» Обеспечить понимание учащимися сути метода и овладение ими действиями по применению метода; Обучить применению метода для решения различных видов задач (сюжетных, геометрических, прикладных).

Этапы процесса формирования метода «уравнений и неравенств» 1.Мотивационный этап (принятия учебной задачи) 2.Этап усвоения сути метода 3.Этап формирования компонентов метода 4.Этап обучения применению метода к типовым задачам (тип модели определен однозначно) 5.Этап обучения применению метода для решения широкого круга задач (формирование умения рационального выбора вида решающей модели)

Типы задач школьного курса математики, решаемые методом «уравнений и неравенств» Формирование умений решать задачи методом «уравнений и неравенств» осуществляется главным образом при решении сюжетных задач, среди которых по признаку «тип решающей модели» выделяют Задачи на составление уравнения; Задачи на составление неравенств; Задачи на составление систем уравнений; Задачи на составление систем неравенств; Задачи на составление комбинированных систем; Задачи на оптимизацию.

Мировоззренческое значение метода «уравнений и неравенств» Возможность установления межпредметных связей: при решении прикладных физических, экономических и т.п. задач –выбор решающей модели связан с предварительным установлением и использованием физических, экономических и т.п. свойств объектив и явлений, –появляется возможность показать проникновение математического знания в другие науки Возможность установления внутрипредметных связей: через выделения того общего, что связывает все методы и все составные части математики – алгебру, геометрию, начала математического анализа

Благодарю за внимание!