Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами является одним из наиболее сложных и интересных разделов математики, который развивает мыслительную деятельность учащихся, формирует представление о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знания учащихся, полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций, при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом другом материале, повышает логическую культуру и технику исследований. Позволяет приблизить знания учащихся к требованиям контрольных измерительных материалов части с единого государственного экзамена.

Решение линейных уравнений с параметрами Формировать умение учащихся видеть в выражении число, обозначенное буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике. В 5 классе при повторении свойств чисел можно рассмотреть примеры.

Примеры: 1) При каком натуральном значении а верно равенство: а) а + 7 = 7 + 5; б) 3 а = 8 3? 2)При каких натуральных значениях b деление 18 : b выполнено без остатка? 3) При каких натуральных значениях b при делении 16 : b в остатке получится 1? 4)При каких натуральных значениях с верно неравенство 12с 100? 5) При каких натуральных значениях p верно неравенство 12 5р 50? Задания, подобные примерам 1, 2, 4 можно предлагать учащимся в устной работе, а примеры 3, 5 для индивидуальной работы на уроке или при составлении контрольной работы в качестве задания развивающего плана.

В теме "Решение уравнений" ребята знакомятся с определением понятия "корень уравнения", вызывает интерес и способствует запоминанию определения корня уравнения следующее задание: Укажите значение а, при котором число 5 является корнем уравнения ах = 20. Решение. Если число 5 – корень уравнения ах = 20, то равенство будет верным а 5 = 20 а = 20 : 5 а = 4 Ответ: при а = 4 число 5 – корень уравнения ах = 20.

6 класс При изучении темы "Обыкновенные дроби" в курсе математики 6 класса в устной и самостоятельной работе можно использовать примеры, способствующие запоминанию понятий "правильная" и "неправильная" дроби, умению сокращать дроби. 1) При каких натуральных значениях b дробь является правильной? 2) При каких натуральных значениях m дробь является неправильной? 3) При каких натуральных значениях а правильная дробь сократима? 4) При каких натуральных значениях с неправильная дробь сократима?

В заключении изучения темы "Действия с рациональными числами" на уроках математики в 6 классе можно рассматривать примеры решения уравнений вида 0х = 5; 0х = 0, предлагать задания развивающего характера в устной работе, а затем и в индивидуальной дифференцированной работе уравнения: 1) 0х = а; 2) bх = 0. 1) При каких значениях а уравнение 0х = а не имеет решений? При каких значениях а уравнение имеет бесконечное множество решений? 2) При каких значениях b уравнение bх = 0 имеет бесконечное множество решений? При каких значениях b уравнение bх = 0 не имеет решений? На внеклассных занятиях по математике в 6 классе рассматривается решение уравнений с параметрами вида: 1) ах = 62) (а – 1)х = 8,33) bх = -5

7 класс Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и приводимых к ним можно в 7 классе при изучении темы: "Решение линейных уравнений". В устной работе повторяется решение уравнений вида: 0х = 5; 6х = 0; 0х = 0; ах = 0; 0х = b; сх = 7. Затем в ходе урока можно рассмотреть уравнения, развивающие представление учащихся о решении уравнений с параметрами. Пример. При каком значении а число 4 является корнем уравнения (а – 5) 4 – 2а = 3х – 1? Решение: Если 4 – корень уравнения, то при х = 4 получим верное равенство (а – 5) 4 – 2а = 3 4 – 1, 4а – 20 – 2а = 12 – 1, 2а = , 2а = 31, а = 15,5 Ответ: при а = 15,5 число 4 – корень уравнения.

Изучив тему седьмого класса "Разложение многочленов на множители" и в ходе изучения этой темы на факультативе, ребята с интересом решают уравнения вида: При каких значениях а уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 имеет бесконечное множество решений? Решение: 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 6ах а = 3а – 3х + 7 (6а + 3)х = 2а + 1 Найдем контрольное значение а. 6а + 3 = 0 а = -1/2. При а = -1/2 получим уравнение 0х = 0. Уравнение имеет бесконечное множество решений. При а -1/2 х =, х =, х = 1/3 – уравнение имеет одно решение. Ответ: при а = уравнение имеет бесконечное множество решений.

8 класс Изучение темы "Действия с алгебраическими дробями" позволяет углубить работу с учащимися по выработке их умений проводить анализ решения более сложных линейных уравнений с параметрами на факультативных занятиях. Пример. Решите уравнение: 2х – 3(а – х) = ах – 15 Решение: 2х – 3(а – х) = ах – 15 2х – 3а + 3х = ах – 15 5х – ах = 3а – 15 (5 – а)х = 3(а – 5) Найдем контрольное значение а: 5 – а = 0 а = 5 При а = 5 получим уравнение 0х = 0, которое имеет бесконечное множество решений. При а 5 х = (делим на число 5 – а 0) х = х = -3 – уравнение имеет одно решение. Ответ: при а = 5 – бесконечное множество решений, при а 5 – одно решение х = -3.

Решение квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы Обучение решению квадратных уравнений с параметрами можно начинать в 8 классе с устного счета, применяя знания учащихся, полученные при изучении темы "Решение квадратных уравнений". Учащиеся знакомятся с понятием "дискриминант", учатся находить количество корней квадратного уравнения в зависимости от его значения.

Примеры: 1) При каких значениях m уравнение х 2 – 3х – 2m = 0 не имеет действительных корней? Решение: х 2 – 3х – 2m = 0. Так как квадратное уравнение не имеет действительных корней, то его дискриминант принимает отрицательные значения: D = 9 + 8m 9 + 8m < 0 m < Ответ: при m < уравнение не имеет действительных корней 2) При каких значениях а уравнение х 2 + 5х + 10а = 0 имеет два действительных корня? 3) При каких значениях b уравнение x 2 + bx + 4 = 0 имеет один действительный корень?

Для индивидуальной работы на уроке можно предложить задания развивающего характера. Пример. При каких значениях m квадратное уравнение mx 2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня? Решение: mx 2 + 6x - 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m 0. Так как квадратное уравнение имеет два действительных корня, то его дискриминант принимает положительные значения. D = m m > 0 12m > -36 m > -3 Ответ: при m > -3, m 0 квадратное уравнение mx 2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня. При решении этих примеров отрабатывается не только понятие "дискриминант", но и определение квадратного уравнения.

9 класс После изучения темы "Решение неравенств второй степени с одной переменной" рассматривается решение более сложных примеров.

Пример. При каких значениях параметра m уравнение mx 2 – 4x + m + 3 = 0 имеет более одного корня? Решение: mx 2 – 4x + m + 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m 0. При m 0 получится квадратное уравнение, которое имеет более одного корня, если его дискриминант имеет положительное значение. D=16-4m 2 -12m. Решим неравенство m 2 + 3m – 4 < 0 методом интервалов. Найдем корни многочлена m 2 + 3m – 4. m 2 + 3m – 4 = 0 m 1 = -4; m 2 = 1 Разложим многочлен m 2 + 3m – 4 на множители: (m + 4)(m – 1) < 0. Найдем знаки многочлена (m + 4)(m – 1) на интервалах: Ответ: уравнение имеет более одного корня при –4 < m < 1, m 0.

На факультативе в 9 классе можно рассмотреть решение примеров: 1) При каких значениях k корни уравнения х 2 + (k 2 – 4k – 5)x + k = 0 равны по модулю? Решение: х 2 + (k 2 – 4k – 5)x + k = 0. Воспользуемся условием равенства корней квадратного уравнения по модулю k 2 – 4k – 5 = 0 k 1 = -1; k 2 = k = 5 – посторонний корень. При k = -1 получим уравнение х 2 – 1 = 0 х 2 = 1 Х 1, 2 = 1 -1 = 1 Ответ: при k = -1 корни уравнения равны по модулю.

2) Найти значение р квадратного уравнения х 2 + рх + 24 = 0, если известно, что его корни положительны, и их разность равна 2. 3) При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 отрицательны? 4) При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 + ах + 2а = 0 действительны и оба больше (-1). 5) При каких значениях параметра а сумма корней уравнения 4х 2 – 4(а – 1)х + 1 = 0 отрицательна? При решении этих примеров используются необходимое и достаточное условие существования двух различных корней, больших данного числа, и теорема Виета.

Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами показывают глубокие знания свойств функций, изучаемых в курсе математики основной школы, умение логически мыслить, осуществляя анализ и синтез любой задачи школьных образовательных программ и жизненных ситуаций. Эти ребята имеют грамотную математическую речь, показывают прочные знания по математике и другим предметам. Они владеют общеучебными умениями и навыками, что позволяет им самостоятельно приобретать знания, развивать свои творческие способности.