Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Правило умножения Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. Теорема: n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами, то есть Рn = n! Варианты измерения – один из результатов этого измерения. Кратность варианты измерения – это число, которое показывает сколько раз она встретилась. Объем измерения – это количество всех данных измерений (то есть сумма всех кратностей). Частота варианты = кратность варианты / объем измерения. Размах измерения - это разность между максимальной и минимальной вариантами. Мода измерения – это та варианта, которая в измерении встретилась большее количество раз. Медиана упорядоченного ряда – это число, записанное посередине, то есть равноудаленное от начала и от конца ряда. Среднее значение числового ряда( среднее арифметическое)- это частное суммы всех измерений на количество этих измерений. Вероятность события А - это отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

Многоугольник кратностей данных

аааа )))) нннн аааа йййй дддд ииии тттт ееее м м м м оооо дддд уууу и и и и зззз мммм ееее рррр ееее нннн ииии яяяя и и и и е е е е ееее чччч аааа сссс тттт оооо тттт уууу ;;;; бббб )))) оооо пппп рррр ееее дддд ееее лллл ииии тттт ееее о о о о бббб ъъъъ ееее мммм и и и и зззз мммм ееее рррр ееее нннн ииии яяяя ;;;; вввв )))) сссс оооо сссс тттт аааа вввв ьььь тттт ееее т т т т аааа бббб лллл ииии цццц уууу ч ч ч ч аааа сссс тттт оооо тттт ;;;;

Таблица распределения данных некоторого измерения ВариантаСумма 1234 Кратность5 Частота0,450,1 Частота, % 2520

Решение задачи Так как частота 25%, то есть частота равна 0,25. Можем найти объем (сумма кратностей), разделив кратность варианты на частоту, то есть 5:0,25=20

ВариантаСумма 1234 Кратность520 Частота0,450,250,1 Частота, % 2520 В 1 кратность=частота*объем, то есть 0,45*20=9 – кратность.

Решение задачи ВариантаСумма 1234 Кратность9520 Частота0,450,250,1 Частота, %

Задача 1 В коробке лежат детские кубики: 4 желтого цвета, 7 красного цвета и 9 зеленого. Не глядя, вынимается один кубик. Какова вероятность того, что кубик окажется желтым? В коробке лежат детские кубики: 4 желтого цвета, 7 красного цвета и 9 зеленого. Не глядя, вынимается один кубик. Какова вероятность того, что кубик окажется желтым?

Задача 2 Учащимся девятых классов для сдачи одного из экзаменов по выбору были предложены следующие предметы: литература, геометрия, физика, биология и иностранный язык. Литература- 12 человек, геометрия- 9 человек, физика- 6 человек, биология- 7 человек и иностранный язык- 15 человек. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик сдает геометрию? Учащимся девятых классов для сдачи одного из экзаменов по выбору были предложены следующие предметы: литература, геометрия, физика, биология и иностранный язык. Литература- 12 человек, геометрия- 9 человек, физика- 6 человек, биология- 7 человек и иностранный язык- 15 человек. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик сдает геометрию?

Задача 3 В коробке «Ассорти» лежат 25 неразличимых по виду шоколадных конфет, из которых 15 штук со сливочной начинкой и 10 штук с фруктовой. Выбираются две конфеты. Какова вероятность того, что обе конфеты окажутся со сливочной начинкой? В коробке «Ассорти» лежат 25 неразличимых по виду шоколадных конфет, из которых 15 штук со сливочной начинкой и 10 штук с фруктовой. Выбираются две конфеты. Какова вероятность того, что обе конфеты окажутся со сливочной начинкой?

Задача с кубиками Антон и Игорь бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Игорь. Является ли такая игра справедливой? Антон и Игорь бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Игорь. Является ли такая игра справедливой?

Таблица вариантов (1; 1) (2; 1) (3; 1) (4; 1) (5; 1) (6; 1) (1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2) (5; 2) (6; 2) (1; 3) (2; 3) (3; 3) (4; 3) (5; 3) (6; 3) (1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4) (1; 5) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (6; 5) (1; 6) (2; 6) (3; 5) (4; 6) (5; 6) (6; 6)

Решение задачи В каждой паре на первом месте записано число очков, выпавших на белом кубике, а на втором месте число очков, выпавших на черном кубике. Общее число равновозможных исходов равно 36. В каждой паре на первом месте записано число очков, выпавших на белом кубике, а на втором месте число очков, выпавших на черном кубике. Общее число равновозможных исходов равно 36. Пусть событие А означает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие В означает, что в сумме выпало 7 очков. Пусть событие А означает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие В означает, что в сумме выпало 7 очков.

Задача Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что: Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что: а) все три раза выпадет «решка»; б) «решка» выпадет в два раза чаще, чем «орел»; а) все три раза выпадет «решка»; б) «решка» выпадет в два раза чаще, чем «орел»; в) «орел» выпадет в три раза чаще, чем «решка»; г) при первом и третьем подбрасывании результаты будут различны? в) «орел» выпадет в три раза чаще, чем «решка»; г) при первом и третьем подбрасывании результаты будут различны?

Решение Составим дерево вариантов, обозначив О выпадение «орла» и Р выпадение «решки». Мы видим, что всего возможны восемь исходов: ООО, OOP, ОРО, OPP, Р00, POP, РРО, РРР. Составим дерево вариантов, обозначив О выпадение «орла» и Р выпадение «решки». Мы видим, что всего возможны восемь исходов: ООО, OOP, ОРО, OPP, Р00, POP, РРО, РРР.

Дерево вариантов

Решение а)«Решка» выпадет три раза только в одном из восьми исходов. Значит, искомая вероятность равна 0,125. а)«Решка» выпадет три раза только в одном из восьми исходов. Значит, искомая вероятность равна 0,125. б)Из восьми возможных исходов только в трех случаях «решка» выпадет в два раза чаще, чем «орел»: РРО, POP, РРО. Значит, искомая вероятность равна 3/8 = 0,375. б)Из восьми возможных исходов только в трех случаях «решка» выпадет в два раза чаще, чем «орел»: РРО, POP, РРО. Значит, искомая вероятность равна 3/8 = 0,375.

Решение в)Если «решка» выпала хоть раз, то «орлов» должно быть не менее трех. Но тогда подбрасываний будет никак не меньше четырех, а их по условию всего три. Значит, указанное событие невозможно. Впрочем, можно просто перебрать все восемь возможных исходов и увидеть, что ни один из них не подходит. Итак, искомая вероятность равна 0.

Решение г) Из восьми возможных исходов интересующее нас событие произойдет в следующих четырех случаях: OOP, OPP, POO, РРО. Значит, искомая вероятность равна = 0,5. Ответ.а) 0,125; б) 0,375; в) 0; г) 0,5.