Помехоустойчивое кодирование Вероятность ошибочного декодирования

Модель двоичного симметричного канала p p

Чтобы гарантировать обнаружение до s ошибок, минимальное расстояние Хэмминга в блоковом коде должно быть d min = s + 1. Замечание

Геометрическая интерпретация нахождения d min при обнаружении ошибок

Чтобы гарантировать исправление до t ошибок, минимальное расстояние Хэмминга в блоковом коде должно быть d min = 2t + 1. Замечание

Геометрическая интерпретация нахождения d min при исправлении ошибок

Вероятность ошибки Вероятность ошибочного слова веса i равна Вероятность ошибки веса i равна

Вероятность ошибочного декодирования Ошибочное слово совпадает с некоторым кодовым словом (то есть вектор ошибки - кодовое слово)

где – число кодовых слов веса i.

Пример Данные кодируются (7,4)-кодом Хэмминга Канал с АБГШ, отношение сигнал/шум – 6дБ – это эквивалентно вероятности ошибки двоичного символа, равной 0,023. Скорость передачи – 16 кбит/сек

Пример Решение. Кодовое слово будет передаваться без ошибок, если все 7 двоичных символов переданы верно.

Вероятность ошибочного слова Пример. Рассмотрим код с повторением C = {000, 111}. Вероятность правильного декодирования для слова 000 есть (1 - p) 3 + 3p(1 - p) 2, для слова 111 есть (1 - p) 3 + 3p(1 - p) 2. Тогда P err (C) = 1 - ((1 - p) 3 + 3p(1 - p) 2 ) есть вероятность ошибочного слова. Пример. Пусть p = 0.01, тогда P err (C) = и лишь одно слово из 3555 дойдет до получателя с ошибкой.

Вероятность ошибочного слова где - количество ошибочных слов веса i.