2012 г. Квантовая механика Преподаватель: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; тел. моб.: СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ

прочитанных лекций и темы рефератов Презентации прочитанных лекций и темы рефератов можно скачать по адресу : Книги: Блохинцев, Давыдов, Карлов, Ландау, Левич, Шифф можно скачать с моего обменника

ОБЪЯВЛЕНИЯ 1.Для допуска к зачету представляется реферат, содержащий: Ф.И.О. студента, номер группы, заголовок (текст вопроса), текст ответа (если надо, с формулами и рисунками). 2.Способ подачи реферата - лично (на лекции) или по электронной почте на адрес: Мои координаты: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; моб ; Объем реферата не должен превышать 4-5 страниц!! Срок представления НЕ ПОЗЖЕ, ЧЕМ 13 МАЯ !! Форма представления – документ WORD (желательно -.doc), или.PDF, или рукопись.

Из прошлой лекции

Прохождение частицы через потенциальный барьер V0V0 E 0ax 123 В классической механике частица с энергией E < V 0 в областях 1 и 3 движется, как свободная, а область 2 ей вообще недоступна (она отразится от барьера). По законам квантовой механики существует конечная вероятность прохождения барьера даже при E < V 0. Это явление называется туннельным эффектом. Коэффициент прозрачности барьера D равен отношению плотности потока вероятности в прошедшей волне к плотности потока вероятности в падающей волне.

Туннельный эффект явление, типичное для МИКРОМИРА. Так, нуклон, локализованный на масштабах ядра (~1 -13 см) имеет D ~ e -1 0,37. Для него же на масштабе ~1см D ~ ! Туннельный эффект позволяет понять механизм -распада тяжёлых ядер, обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при температуре в десятки и сотни млн. градусов.

Периодическая система квантовых ям

Теорема Блоха Периодический потенциал, определяющий свойства электронов, есть самосогласованный потенциал, включающий в себя взаимодействие между всеми электронами и ионами, образующими кристаллическую решётку. В этом смысле Блоховский электрон представляет собой квазичастицу, т. е. частицу, находящуюся в самосогласованном поле окружающих частиц. Обычно при решении многочастичной задачи о поведении электронов в кристалле сначала разделяют движение ионов и электронов (адиабатическое приближение), а затем с помощью самосогласованной процедуры (например, методом Хартри - Фока) находят потенциал. Таким образом, с помощью усреднённого поля многочастичная задача сводится к одноэлектронной.

Предположим, что и выразим зонную структуру энергетического спектра через характеристики электрона, находящегося в потенциале отдельного барьера. Пусть электрон с энергией E падает слева на барьер. Поскольку V = 0 при |x|>a/2, то в этих областях

Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращается в зону энергий. Таков механизм образования узких электронных энергетических зон в кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.

Лекция 13

Полуклассическая теория излучения

Рассмотрим переходы между стационарными состояниями атомов. Будем исследовать взаимодействие атомной системы с электромагнитным полем излучения. Для простоты ограничимся «одноэлектронной» системой. Уравнение Шредингера для «одноэлектронного» атома в электромагнитном поле, описываемом векторным потенциалом A, имеет вид Здесь выбрана поперечная калибровка электромагнитного поля Полуклассическая теория излучения

Кроме того, мы учитываем только взаимодействие электрона атома с полем, причем в линейном приближении (член взаимодействия, пропорциональный A 2, опущен). Взаимодействием ядра атома с полем мы пренебрегаем, поскольку масса ядра много больше массы электрона. Чтобы рассматриваемая задача о взаимодействии атома с электромагнитным полем стала замкнутой, к уравнению Шредингера нужно добавить уравнения, описывающие электромагнитное поле. Воспользуемся полуклассическим подходом, который состоит в том, что движение частиц подчиняется квантово-механическим законам, а электромагнитное поле рассматривается классически. Рамки применимости полуклассики – когда пространственный масштаб системы мал в сравнении с длиной волны э.- м. поля.

Следовательно, векторный потенциал можно задать с полной определенностью в каждой точке пространства и в каждый момент времени с помощью классических уравнений Максвелла для вакуума В поперечной калибровке Уравнение для векторного потенциала принимает вид

Такой подход дает правильное описание поглощения света и индуцированного излучения атомными системами, т.е. влияния внешнего поля на частицы. Последовательное описание влияния частиц на поле (спонтанное излучение) требует полностью квантового подхода. Однако вероятность спонтанного излучения можно найти из общих условий равновесия.

e – единичный вектор поляризации, A 0 – амплитуда (вообще говоря, комплексная) векторного потенциала, k – волновой вектор, kc=. Перепишем векторный потенциал в вещественной форме Поглощение и индуцированное излучение Уравнение для векторного потенциала имеет решения в виде плоской волны

Теперь можно вычислить интенсивность I электромагнитного поля (энергия, падающая в единицу времени на единичную площадку), которая равна средней по периоду колебаний (T = 2 / ) амплитуде вектора Пойнтинга Интенсивность электромагнитного поля равна Тогда напряженности электрического и магнитного поля будут иметь вид

Будем считать величину возмущением и воспользуемся теорией возмущений для вычисления вероятности переходов между невозмущенными состояниями атома. Если атом первоначально находился в состоянии i и в момент времени t = 0 было включено возмущение, то в первом порядке нестационарной теории возмущений амплитуда вероятности найти атом в состоянии f равна Здесь

Используя явное выражение для возмущения, получим Вероятность того, что переход произойдет, заметно отлична от нуля, только вблизи резонанса, когда то есть

Первое из этих слагаемых соответствует поглощению одного кванта, а второе индуцированному испусканию одного кванта. Мы получили квантование излученной или поглощенной энергии, не вводя заранее каких-либо предположений о квантовании электромагнитного поля. Сохранение энергии для совокупности частиц и поля обеспечивается приведенными выше условиями. В случае, когда fi =, вероятность найти атом в состоянии f с большей энергией пропорциональна величине Когда fi = -, вероятность найти атом в состоянии с меньшей энергией пропорциональна

Методами общей теории возмущений можно рассчитать вероятность переходов в единицу времени под действием периодического по времени возмущения. В нашем случае вероятность поглощения будет равна а вероятность индуцированного излучения - Здесь мы сталкиваемся с трудностью. Из формул следует, что вероятность этих процессов бесконечна при и равна нулю в остальных случаях.

Эта трудность возникает из-за того, что мы рассматриваем переходы между дискретными уровнями стационарных состояний под действием строго монохроматического излучения. Ее можно устранить, если учесть, что строго монохроматического излучения не бывает. Излучение всегда охватывает некоторый конечный (хотя возможно и крайне узкий) интервал частот. Предположим, что между различными частотными компонентами излучения нет каких-либо фазовых соотношений. Тогда излучение можно характеризовать спектральной интенсивностью I( ), т.е. интенсивностью, отнесенной к единичному интервалу частоты. Интенсивность излучения в области частоты перехода fi можно представить как

Отсюда находим, что Используя явный вид, для вероятности поглощения излучения в интервале частот d получаем Полная вероятность поглощения равна интегралу от этого выражения по частоте

Используя свойства дельта-функции Дирака, этот интеграл легко вычислить аналитически. В результате получаем Выражения для вероятностей и в точности совпадают. Вероятности переходов в обе стороны между двумя любыми состояниями под влиянием одного и того же возмущения совершенно одинаковы. Это – принцип детального равновесия. Помимо поглощения и вынужденного излучения есть еще СПОНТАННОЕ испускание, которое не рассчитывается в рамках использованной модели. Корректный способ его учета возможен только с применением квантовой электродинамики. Приближенный способ учета, основанных на принципе детального равновесия и сравнения полученных результатов с ИЗВЕСТНОЙ И ПРАВИЛЬНОЙ формулой Планка предложен Эйнштейном в 1916 г. (см. [6] в списке литературы к лекции).

Возникает вопрос: можно ли упростить выражения для матричных элементов, описывающих процессы поглощения и вынужденного излучения? Оказывается, что во многих случаях экспоненту, стоящую под знаком интеграла, можно разложить в ряд по степеням kr. Дипольное приближение

Оценим эту величину для случая оптических переходов Проведем оценку на примере атома водорода. Поскольку волновые функции электрона локализованы в области с радиусом порядка боровского радиуса атома a 0, то Волновой вектор фотона, участвующего в переходе, Отсюда следует, что - энергия ионизации атома водорода.

Следовательно, экспоненты под интегралами можно заменить на Если в этом разложении ограничиться первым членом, то мы получаем дипольное приближение.

Почему приближение «дипольное»? Можно перейти от оператора импульса к оператору координаты с помощью соотношения: которое можно получить для гамильтониана используя перестановочное соотношение между операторами импульса и координаты. Тогда: и в выражениях для матричных элементов появляется - дипольный момент перехода f i.

Вероятности однофотонных переходов в дипольном приближении определяются матричными элементами оператора дипольного момента В связи с этим большой интерес представляет вопрос о том, в каких случаях эта величина отлична от нуля. Для ответа на этот вопрос необходимо вычислить следующие матричные элементы: Правила отбора

В сферической системе координаты x, y, z можно представить следующим образом Для сферически симметричной системы электронные волновые функции имеют вид

Используя условие ортонормированности спиновых функций получаем

Рассмотрим интеграл по угловым переменным Коэффициенты С называются коэффициентами Клебша-Гордона

Коэффициенты Клебша-Гордона отличны от нуля, если Коэффициентотличен от нуля, если четное число. Отсюда следует, что должны быть числами противоположной четности. Кроме того, поскольку в нашем случае Таким образом, можно сформулировать следующие правила отбора: матричные элементы дипольного момента отличны от нуля при переходах между состояниями, угловой момент которых отличается на единицу, а проекции спинового момента совпадают.

Атом во внешнем электрическом поле

Изменение энергии стационарных состояний атома под влиянием внешнего электрического поля называется эффектом Штарка. Если внешнее электрическое поле отсутствует, то стационарные состояния соответствуют одной энергии Таким образом имеет место вырождение по квантовому числу m. Атом во внешнем электрическом поле

При включении однородного электрического поля напряженности E в операторе Гамильтона появляется дополнительное слагаемое где d=er – оператор дипольного электрического момента электрона. x y z, E Если направить ось z координатной системы вдоль вектора напряженности электрического поля, то гамильтониан для атома примет вид (1)

Свойства системы меняются в присутствии поля. Во-первых, при включении электрического поля меняется симметрия системы. Сферическая симметрия сменяется аксиальной. До включения поля гамильтониан был инвариантен (не изменял свой вид) при поворотах на системы на любые углы и, а также при отражениях в любых плоскостях, проходящих через начало координат. После включения поля симметрия системы понижается. Гамильтониан инвариантен относительно вращения на произвольный угол вокруг направления поля (ось z) и отражения в любой плоскости, проходящей через ось z. При таком отражении знак проекции момента m меняется на обратный: Поэтому в системе с гамильтонианом (1) энергетические уровни состояний с m и –m совпадают, т.е. имеется двукратное вырождение.

Во-вторых, внешнее электрическое поле приводит к изменению поведения потенциальной энергии при Появляется возможность прохождения электрона через потенциальный барьер, т.е. может осуществляться спонтанная ионизация атома.

В третьих, внешнее поле приводит к сдвигу энергетических уровней атома. Оценим величину этого сдвига. Для этого воспользуемся теорией возмущений. Предположим, что величина поля достаточно мала, т.е. изменение уровней мало по сравнению с расстоянием между уровнями без поля. В первом порядке теории возмущений поправка к энергии невозмущенной системы определяется средним значением оператора возмущения в этом состоянии. Изменение энергии состояния будет равно

Таким образом, мы должны вычислить матричный элемент оператора z -координаты электрона Сделаем это, на основе подхода, применявшегося при выводе оптических правил отбора. Прежде всего необходимо отметить, что для сферически симметричных систем, в которых отсутствует «случайное» вырождение по угловому моменту l, разным угловым моментам соответствуют различные уровни энергии. Это значит, что волновая функция стационарного состояния выражается через линейные комбинации сферических гармоник с одинаковыми значениями l.

Например, угловая зависимость волновых функций частицы со спином 1/2 в состояниях с заданным значением орбитального момента l, полного момента j и его проекции m имеет вид: Отсюда немедленно следует, что угловая часть интеграла, определяющего матричный элемент

выражается через величины типа Здесь было использовано представление z-координаты электрона через сферическую гармонику Видно, что матричный элемент пропорционален коэффициенту Клебша-Гордона

Согласно свойствам коэффициентов Клебша-Гордона поскольку нечетное число. Таким образом и, следовательно, поправка первого порядка к энергии стационарных состояний атома равна нулю.

Во втором порядке теории возмущений поправка к энергии состояния может быть представлена как Таким образом, смещение уровней атома в однородном электрическом поле пропорционально квадрату напряженности поля. Это – квадратичный эффект Штарка. Из этой формулы видно, что электрическое поле частично снимает вырождение атомных уровней по проекции полного момента.

Рассмотрим эффект Штарка в атоме водорода и ограничимся для простоты двумя нижайшими уровнями энергии E 1 и E 2. С учетом спина нижайшему уровню (n=1, l=0) принадлежат две волновые функции, спин - угловые части которых имеют вид: Можно показать, что диагональный матричный элемент z-координаты электрона для этих волновых функций пропорционален Следовательно, линейный эффект Штарка для этого уровня отсутствует. Эффект Штарка для атома водорода (для самостоятельного ознакомления)

Совершенно иначе обстоит дело со следующим уровнем энергии (n=2). Ему c учетом спина электрона принадлежат две волновые функции 2s состояния (n=2, l=0) и шесть волновых функций 2p состояния (n=2, l=1). Спин - угловые части этих волновых функций имеют вид

Поскольку этот уровень восьмикратно вырожден, то для определения к нему поправок нужно использовать теорию возмущения для вырожденных состояний. Будем считать, что возмущенная волновая функция, являющаяся линейной комбинацией всех восьми невозмущенных функций удовлетворяет возмущенному уравнению Шредингера Невозмущенные же функции являются собственными для гамильтониана H 0

Используя стандартную процедуру теории возмущений для вырожденных уровней получим систему восьми линейных однородных уравнений, которая определяет коэффициенты b k где Условием разрешимости этой системы уравнений является обращение в нуль ее определителя. В результате получим уравнение восьмой степени относительно.

К счастью это уравнение оказывается крайне простым и допускает аналитическое решение. Это связано с тем, что большинство матричных элементов V ik оказываются равными нулю. Не равны нулю лишь матричные элементы между волновыми функциями, угловой момент которых l отличается на единицу, а спин - угловые части содержат сферические гармоники с одинаковыми квантовыми числами m и одинаковые спиновые функции. В результате получается следующее уравнение где – боровский радиус. Это уравнение имеет следующие решения

При включении внешнего поля восьмикратно вырожденный уровень расщепляется на три уровня. Два из них двукратно вырождены, а один – четырехкратно вырожден. Величина расщепления уровней пропорциональна первой степени напряженности электрического поля. Это – линейный эффект Штарка.

Молекулы

Анализ поведения молекул существенно сложнее, чем атомов. Это прежде всего связано с тем, что электроны в молекуле движутся в поле, которое нельзя считать сферически симметричным. Действительно, существуют два или более источников поля – ядра атомов, образующих молекулу. Задача о молекуле может быть существенно упрощена, если принять во внимание то, что масса ядра M много больше массы электрона m Молекулы

Отсюда следует, что энергия движения ядер много меньше энергии движущихся электронов. Согласно принципу Гейзенберга период движения по порядку величины равен постоянной Планка, деленной на энергию этого движения. Отсюда следует, что «ядерные» периоды во много раз больше электронных. Поэтому при исследовании движения электронов расположение ядер с хорошей точностью можно считать фиксированным.

Движение ядер можно рассматривать в предположении, что для каждой мгновенной их конфигурации состояние системы электронов является стационарным. Это адиабатическое приближение. Существует стабильная равновесная конфигурация ядер, в которой они расположены не слишком близко и не слишком далеко друг от друга. Ядерные движения можно разделить на: а) поступательное движение конфигурации как целого (трансляции), б) вращение конфигурации как целого, в) внутренние колебания ядер относительно равновесного положения.

Молекулярные уровни энергии можно разделить на электронные, колебательные и вращательные. Оценим относительный порядок величин энергии различных уровней. Пусть R – величина порядка линейных размеров молекулы. Тогда энергия E e, связанная с движением валентного электрона, который «занимает» весь объем молекулы, по порядку величины равна Эта оценка следует из того, что неопределенность импульса имеет порядок величины

Для оценки колебательной энергии будем рассматривать каждое нормальное колебание как колебание классического осциллятора с коэффициентом упругости K 0 и массой М. Масса М по порядку величины равна массе ядра. Для оценки K 0 заметим, что при амплитуде колебаний близкой к R, изменение энергии будет порядка E e. Это связано с тем, что при таком большом смещении ядер электронная волновая функция должна существенно исказиться. Таким образом, согласно закону Гука

Из лекции, в которой рассматривался гармонический осциллятор, мы знаем, что энергия слабо возбужденных малых колебаний по порядку величины равна Комбинируя эти выражения, получаем Таким образом, грубо говоря, E v в 50 раз меньше, чем E e. где

Для оценки вращательной энергии E r заметим, что момент инерции молекулы по порядку величины равен Следует ожидать, что при не слишком сильном вращении момент импульса имеет величину порядка Тогда т.е. вращательная энергия примерно в 50 раз меньше колебательной.

Литература к лекции 13 1.В.Г. ЛЕВИЧ, Ю.А. ВДОВИН, В.А. МЯМЛИН, КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.2, часть V (Квантовая механика), гл. IX, М.: ГИФМЛ, М. БОРН, АТОМНАЯ ФИЗИКА, М., Мир, Д.И. БЛОХИНЦЕВ, ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, Высшая школа, М., Л. ШИФФ, КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, М.: ИЛ, Н.В. КАРЛОВ, Н.А. КИРИЧЕНКО, НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, М.: Физматлит, А. ЭЙНШТЕЙН, «Испускание и поглощение излучения по квантовой теории», СОБРАНИЕ НАУЧНЫХ ТРУДОВ, т.3, сс , М., Наука, 1966.