МОУ « Средняя общеобразовательная школа 14 с углубленным изучением отдельных предметов » авт. Кудимова Н. В.

Задать целевую функцию Создать математическую модель задачи Решить задачу на компьютере

Математическая модель – это приближенное описание какого - либо класса явлений средствами математической символики. При составлении математической модели решения задачи оптимизации искомые величины принимаются за неизвестные и составляется система неравенств, наиболее полно характеризующих решение поставленной задачи. В любую математическую модель входят две составляющие : Ограничения, которые устанавливают зависимости между переменными. Граничные условия показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Компания производит полки для ванных комнат двух типов - А и В. Агенты по продаже считают, что неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м 2 материала, для полки типа В - 3 м 2 материала. Компания может получить до 1200 м 2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В - 4 долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль ?

Очевидно, что в качестве критерия оптимизации в данном случае выступает функция прибыли. Оптимальным будет считаться тот из вариантов решения, в котором значение прибыли будет максимальным. Учитывая, что «… прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В - 4 долл.…» целевая функция будет выглядеть следующим образом : 3x1 + 4x2 max, где x1 – объем производства полок типа A x2 – объем производства полок типа B

«… Агенты по продаже считают, что неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок …» Очевидно, что совокупный объем производства полок не должен превышать 550 единиц, или, в математическом виде : x1 + x2 550

«… Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин. Оборудование можно использовать 160 часов в неделю …» На основе этой информации можно сделать вывод, что общее время использования оборудования в рамках данного проекта не должно превышать 160 часов в неделю. Переведя время, необходимое для изготовления одной полки в часы ( с целью сопоставимости единиц измерения правой и левой части неравенства ) получим : 0,2x1 + 0,5x2 160

«… Для каждой полки типа А требуется 2 м 2 материала, для полки типа В - 3 м 2 материала. Компания может получить до 1200 м 2 материала в неделю …» На основе этой информации можно сделать вывод, что общее количество материала, затрачиваемого для реализации данного проекта не должно превышать 120 м 2: 2x1 + 3x2 120

В качестве граничных условий в данном примере могут быть использованы следующие утверждения, вытекающие из сути поставленной задачи : Объем производства полок типа А и полок типа В – неотрицательное значение. Объем производства полок типа А и полок типа В – целое число. x1, x2 0 x1, x2 – целое

Ввод условий задачи состоит из следующих основных шагов : Создание формы для ввода данных, необходимых для последующего решения. Ввод исходных данных и зависимостей из математической модели. Указание целевой ячейки ( ячейки, в которую введена целевая функция ), ввод ограничений и граничных условий в диалоговом окне Поиск решения.

Такая форма должна содержать возможность ввода всех данных, необходимых для решения поставленной задачи : искомых переменных ; целевой функции ; правой и левой части неравенств, описывающих ограничения, налагаемые на возможные варианты решения поставленной задачи.

Отметим, что целевая функция и левые части неравенств, определяющих возможные варианты решения поставленной задачи, вводятся формулой, в которой роль искомых переменных играют адреса ячеек, зарезервированных для вывода их значений после решения задачи, а роль коэффициентов – адреса ячеек, содержащих соответственные коэффициенты.

Данная стадия ввода условия задачи осуществляется в диалоговом окне Поиск решения

Для этого в поле « Установить целевую ячейку :» вводится адрес ячейки, содержащей целевую функцию. Затем устанавливается направление последней – значение, к которому она должна стремиться исходя из условий задачи ( минимальное, максимальное, конкретное, задаваемое пользователем ). В поле « Изменяя ячейки :» ввести адреса ячеек, зарезервированных для искомых переменных.

Ввести ограничения и граничные условия. Для этого в диалоговом окне Поиск решения нажать на кнопку Добавить. В открывшемся диалоговом окне Добавление ограничений : в поле « Ссылка на ячейку :» ввести адрес ячейки листа, содержащей формулу для расчета показателя, используемого в качестве левой части неравенства, из списка знаков неравенств выбрать необходимый знак, в поле « Ограничение :» указать адрес ячейки, содержащей показатель, используемый в качестве правой части неравенства.

После нажатия на кнопку Выполнить диалогового окна Поиск решения на экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения.

полок типа А в количестве 450 штук ( В 3); полок типа В – в количестве 100 штук ( С 3). При этом максимальная прибыль будет составлять 1720 единиц, а ресурсы используются следующим образом : потребление материала – 1200 единиц (D10); использование оборудования – 140 часов (D11).