Векторы на плоскости Векторы на плоскости Мельникова М.И. Мельникова М.И.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ Пример 1 В ОАВ точка М является серединой стороны АВ Доказать: О А М В Доказательство: + Утверждение доказано

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ В ОАВ точка М является серединой стороны АВ О А М В В примере ОМ является линейной комбинацией векторов ОА и ОВ с коэффициентами ½ и ½

Если а, в – векторы, х, у – числа, то вектор с = ха + ув называется линейной комбинацией векторов а и в с коэффициентами х и у

Пример 2 О А М В m n Точка М лежит на стороне АВ ОАВ так, что АМ : МВ = m : n Представить вектор ОМ в виде линейной комбинации векторов ОА и ОВ

Из механики известно : Если в точке А находится точечная масса m 1, а в точке В точечная масса m 2, то центр масс двух точек А и В находится в точке М отрезка АВ такой, что АМ : МВ = m 2 : m 1 О М (m 1 ) A (m 2 ) B

Следствие из примера 2: Пусть в точке А находится точечная масса m 1, а в точке В – точечная масса m 2. Тогда, если М – центр масс этой системы из двух материальных точек, а О – произвольная точка плоскости, то О М (m 1 ) A (m 2 ) B ОМ = m 1 OA + m 2 OB m 1 + m 2

Более общее утверждение: Пусть М – центр масс системы из n материальных точек А 1, А 2, …, А n с массами m 1, m 2, …, m n соответственно,а О – произвольная точка плоскости, тогда ОМ = m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + … + m n OA n m 1 + m 2 + … + m n

Центром масс системы (m 1 A 1, m 2 A 2, …, m n A n ) называется такая точка М, для которой справедливо равенство: m 1 МA 1 + m 2 МA 2 + … + m n МA n = 0

(о центре масс) Пусть задана система материальных точек (m 1 А 1, m 2 А 2, …, m n А n ) с ненулевой суммарной массой m = m 1 + m m n. Тогда существует единственная точка М, удовлетворяющая условию: m 1 МA 1 + m 2 МA 2 + … + m n МA n = 0 Эта точка М называется центром масс (или барицентром) системы

1) Любой вектор МА можно представить в виде О М A МA = МО + ОA 2) Проделаем эту операцию с каждым из векторов вида МА i m 1 (MO + OA 1 ) + m 2 (MO + OA 2 ) + … + m n (MO + OA n ) = 0, (m 1 + m 2 + … + m n ) MO + m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + … + m n OA n = 0

3)3) ОМ = m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + … + m n OA n m 1 + m 2 + … + m n – МO = OM, 4)4) Поскольку точки A 1, A 2, …, A n и числа m 1, m 2, …, m n заданы, то точка М существует и определена однозначно

Пусть М – центр масс системы материальных точек (m 1 А 1, m 2 А 2, …, m n А n ) Тогда для любой точки О справедливы равенства: (m 1 + m 2 + … + m n ) ОМ = m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + … + m n OA n ОМ = m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + … + m n OA n m 1 + m 2 + … + m n

ПРАВИЛО РЫЧАГА Если m 1 и m 2 – массы, расположенные в точках А 1 и А 2, то их барицентр M находится на отрезке А 1 А 2 Если m 1 и m 2 – массы, расположенные в точках А 1 и А 2, то их барицентр M находится на отрезке А 1 А 2 Барицентр M делит отрезок А 1 А 2 обратно пропорционально массам Барицентр M делит отрезок А 1 А 2 обратно пропорционально массам А1А1 А 2 m 2 = 3 m 1 = 2 M

По определению, m 1 MA 1 + m 2 MA 2 = 0 m 1 MA 1 m 2 MA 2 |m 1 MA 1 | = |m 2 MA 2 | m 1 MA 1 = m 2 MA 2

Определить положение центра масс системы четырех материальных точек одинаковой массы, никакие три из которых не лежат на одной прямой А B C D 1.Нагрузим вершины единичными массами Эта система материальных точек имеет центр масс 2. Рассмотрим подсистему (1А, 1В) 2К 3. Рассмотрим подсистему (1D, 1C) 2L2L 4. Рассмотрим подсистему (2К, 2L) 4М

Доказать, что в произвольном четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходят через одну точку, в которой они делятся пополам А B C D К L М А B C D К1К1 L1L1 М