Касательная к графику функции Подготовила: ученица 11 класса «Д» ученица 11 класса «Д» Красовская Виктория Руководители: Крагель Т.П., Гремяченская Т.В г. Старый Оскол 2006

Содержание: Появление понятия касательной Появление понятия касательной Появление понятия касательной Появление понятия касательной История появления касательной История появления касательной История появления касательной История появления касательной Построение касательной Построение касательной Построение касательной Построение касательной Пример построения касательной: Пример построения касательной: 1 часть 1 часть1 часть1 часть 2 часть 2 часть 3 часть 3 часть

Появление понятия касательной Понятие касательной – одно из древнейших в математике. В геометрии касательную к окружности определяют как прямую, имеющую ровно одну точку пересечения с этой окружностью. Древние с помощью циркуля и линейки умели проводить касательные к окружности, а в последствии – к коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам. вернуться к содержанию

История появления касательной Интерес к касательным возродился в Новое время. Тогда были открыты кривые, которых не знали учёные древности. Например, Галилей ввёл циклоиду, а Декарт и Ферма построили к ней касательную. В первой трети XVII в. Начали понимать, что касательная – прямая, «наиболее тесно примыкающая» к кривой в малой окрестности заданной точки. Легко представить себе такую ситуацию, когда нельзя построить касательную к кривой в данной точке (рисунок). вернуться к содержанию

Построение касательной Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». вернуться к содержанию

Пример построения касательной Пусть кривая есть график функции f (x) изображённый на рисунке, и требуется провести касательную к этой кривой в точке x. Поступим следующим образом. Возьмём точку x = x0 + x,,,, близкую к х0, и проведём через точки (х 0 ; f (x0)) и и и и (х х ; f (х х)) п п п прямую (секущую, как иногда говорят). Уравнение секущей, как нетрудно проверить имеет вид y = k ( x - x0 ) + f (x0 ), где вернуться к содержанию

Если существует предел то прямую и называют касательной к графику функции f (x) в точке x 0. Если сказать иначе, касательную можно определить как прямую, которая является предельным положением секущих, когда x стремится к 0. Из определения величины k 0 видно, что функция вернуться к содержанию Стремится к 0, когда x стремится к 0. Последнее равенство означает, что

т.е. где x = x 0 + x. Другими словами, чем ближе x к x 0 (т.е. чем меньше x ), тем сильнее секущая «прижимается» к графику функции в том смысле, что разность f (x) - T (x) стремится к нулю ещё быстрее, чем x. Среди всех прямых, проходящих через точку (x 0 ; f(x 0 )), этим свойством обладает лишь касательная. вернуться к содержанию