Подготовка к ЕГЭ Геометрия Об особенностях решения заданий С2 ЕГЭ Е.Ю.Фролова, учитель математики ГБОУ СОШ 2 г.о. Кинель 1

1. Расстояние от точки до прямой Задача 1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD 1. Решение. Ответ:. 1.Построим плоскость A 1 D 1 СВ. М 3. D 1 CB – прямоугольный. 4. CMB – прямоугольный. I способ CD 1 =, 2. СМ BD 1 ; СМ – искомое расстояние. А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D1 ? D 1 В =.

II способ. 4. СМ – высота, проведенная из вершины прямого угла D 1 CB 3 Задача 1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD 1. Решение. Ответ:. 1.Построим плоскость A 1 D 1 СВ. 3. D 1 CB – прямоугольный. BD 1 =, CD 1 =, СВ=1. 2. СМ BD 1 ; СМ – искомое расстояние. 1 М А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D1 1 1 ?

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить: как 2) расстояние от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой. с 1) длину отрезка их общего перпендикуляра; b A D H B C 4

Задача 2. Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми АL и МО, если L – середина МС, О – центр грани АВС. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой. Решение. 1.LН (ABC), Н СО. 5. Вычислим ОQ. 1 О Р L Н Q 3. Точка О и прямая АН – ортогональные проекции соответственно прямых МО и АL на (АВС). 2. СН = НО. Расстояние между скрещивающимися прямыми МО и АL равно расстоянию от точки О до прямой АН. ОQ- искомое расстояние. 4. ОQ АН, Если ортогональная проекция на плоскость α переводит прямую a в точку A, а прямую b в прямую b 1, то расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равно расстоянию от А до прямой b 1. 5 В С А M

В С А M 1 О Р L Н Решение. А В С Р H Q О Q ? 60 Ответ:. 6 1 К

3. Угол между прямой и плоскостью можно вычислить: 1)как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость; Этот угол включают в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов. 2) используя векторный метод; a 3) используя координатно-векторный метод. 7

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1. Найдите угол между прямой DЕ, где Е - середина апофемы SF грани АSВ, и плоскостью АSC. А В С D S F Е 8 Решение.

1) ОD (АSC). 3) Пусть – вектор нормали к (АSС). 2) – направляющий вектор прямой DE. 4) 5) А В С D S F Е 9 I способ. О

10 Ответ:.

А В С D S F Введем прямоугольную систему координат. О Х У Z Н Координатно-векторный метод II способ. Координатно-векторный метод К1 Е Ответ:. направляющий вектор прямой DE.

4. Угол между пересекающимися плоскостями 1) угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения; Линейный угол двугранного угла, если удается, включают в некоторый треугольник. 2) угол между перпендикулярными им прямыми. М А О можно вычислить: как D 1212

Пусть β - плоскость, проходящая через середину ребра СD перпендикулярно прямой В 1 D. Задача 4.1. Основание прямой четырехугольной призмы прямоугольник АВСD, в котором АВ=5, АD=33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани АА 1 D 1 D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD, перпендикулярно прямой В 1 D, если расстояние между прямыми А 1 С 1 и ВD равно3. Угол между данными плоскостями - угол между перпендикулярными к ним прямыми. СD (AA 1 D) В 1 D β – по условию – ИСКОМЫЙ. 5 Решение A1A1 А В С D В1В1 С1С1 D1D1 По теореме Пифагора найдем В 1 С=

A1 АВ С D В1В1 С1С1 D1D Задача 4.2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 известны длины рёбер: АА 1 =5, АВ=12, АD=8. Найдите тангенс угла между плоскостью АВС и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК, если К – середина ребра С 1 D К

Задача 4.3. В правильной четырехугольной призме АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2 : 1. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. A1 В С D В1В1 С1С1 D1D1 Е K H Решение. 1.D 1 E AD = K. 2. (ABC) (BED 1 ) = KB. 3. EН KBАH КВ. 4. EАН – прямоугольный. искомый. 5. АEK A 1 ED 1 2 А 6. КАВ – прямоугольный. 7. АН – высота в КАВ

Задача 4.3. В правильной четырехугольной призме АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 1 : 3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Ответ: K H ? 3 1 A1 В1В1 С1С1 D1D1 В С D А Е

Подготовка к ЕГЭ Е.Ю.Фролова, учитель математики ГБОУ СОШ 2 г.о. Кинель 1717