Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Скрещивающиеся прямые.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Доказательство: Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости α, и прямую СD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ(рис.1).Докажем, что АВ и CD-скрещивающиеся прямые, т.е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости β, то плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадает с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая СD не лежит в плоскости α. Теорема доказана. Доказательство: Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости α, и прямую СD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ(рис.1).Докажем, что АВ и CD-скрещивающиеся прямые, т.е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости β, то плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадает с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая СD не лежит в плоскости α. Теорема доказана. Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: а) прямые пересекают, т.е. имеют только одну общую точку(рис.2а); а) прямые пересекают, т.е. имеют только одну общую точку(рис.2а); б) прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются(рис.2б) в) прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в плоскости(рис2в) в) прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в плоскости(рис2в) D C α A B a b C b a a b

Скрещивающиеся прямые. Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Доказательство: Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис3).Докажем, что через прямую АВ проходит плоскостью, параллельная прямой CD, и такая плоскость только одна. Доказательство: Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис3).Докажем, что через прямую АВ проходит плоскостью, параллельная прямой CD, и такая плоскость только одна. Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости α и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD параллельна плоскости α. Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости α и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD параллельна плоскости α. Ясно, что плоскостью α – единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана. Ясно, что плоскостью α – единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана. Наглядной иллюстрацией этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой. Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на этакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге. Наглядной иллюстрацией этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой. Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на этакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге. AB E C D α