Тема урока: Расстояние от точки до плоскости Учитель: Емельянова Г.А.

α Верно ли утверждение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум с н прямым,лежащим в этой плоскости»? прямым, лежащим в этой плоскости»? пересекающимся

Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна α в с некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»? каждой

Как расположены по отношению друг к другу ребра, выходящие из одной вершины куба?

Как расположены плоскости верхней и нижней граней по отношению к боковым ребрам?

α Что можно сказать о двух (трех, четырех) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?

Верно ли утверждение: «Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны»? α а в с

Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? Как кратчайшее расстояние от точки до прямой. Как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой. Как называются отрезки АМ, АН? АМ – наклонная к прямой А АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а А М Н

α А Н М АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α Н – основание перпендикуляра АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости α М – основание наклонной НМ – проекция наклонной на плоскость α Прямоугольный треугольник АМН: АН – катет АМ – гипотенуза Поэтому АН < АМ Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к этой плоскости, следовательно его длина будет называться расстоянием от точки А до плоскости α.

Например, расстояние от лампочки до земли 6 м

Замечание 1 Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости По свойству параллельных плоскостей отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями А1А1 А М М1М1 α β АА 1 и ММ 1 – перпендикуляры из произвольных точек плоскости α к плоскости β АА 1 || ММ 1 => АА 1 = ММ 1

Примеры параллельных плоскостей

Замечание 2 Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости Доказательство приведено в задаче 144 Изучить самостоятельно дома Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью а М β α N

Замечание 3 Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми а М β α N в

Решить задачи: 138 (а) 139 (а)

138 Подсказки: Воспользуйтесь теоремой синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов Ответ: АВ = d/cos φ Определите вид треугольника φ d А В С

139 (а) А В С Н Сравните треугольники АВН и ВНС Подсказка:

140 Подсказки: С В А О 1,5 Сравните треугольники АВО и АСО Найдите АВ и АС Определите тип треугольника АВС Найдите СВ Ответ: СВ = 3 см

143 О В А С М 6 4 Подсказки: Опустите перпендикуляр МО к плоскости (АВС) Сравните треугольники АОМ, ВОМ и СОМ Чем является точка О для треугольника АВС? Воспользуйтесь формулой связи радиуса описанной окружности правильного треугольника с его стороной Найдите МО, как катет треугольника МОС Ответ: МО = 2 см

Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проецируется на его плоскости? Какой вывод можно сделать из решения этой задачи? Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется в центр описанной окружности на его плоскости

Докажите, что любая точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной около него окружности, равноудалена от всех его вершин. Составьте обратное утверждение, верно ли оно? В А С М О

Назовите все наклонные к плоскости α М А С В N К α Назовите проекции этих наклонных на плоскость α Какой отрезок на чертеже определяет расстояние от точки М до плоскости α ИТАК:

α || β, назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется … α β

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми

Домашнее задание Теория : пункт 19, стр Задачи: 138 (б)