Сечения многогранников

Растущие запросы архитектуры, техники, промышленности, военного дела и живописи привели к формированию специальной математической ветви – СТЕРЕОМЕТРИИ. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры стереометрии: точка, прямая и плоскость. Аксиомы стереометрии включают в себя аксиомы планиметрии и аксиомы, связанные с плоскостью. За основу аксиом стереометрии берутся аксиомы, изложенные Евклидом в его «Началах». Целью моей работы является рассмотрение различных методов построения сечений многогранников, которые наиболее часто используются в различных экзаменационных работах, в том числе ЕГЭ.

Теоретический материал Аксиомы стереометрии Теоремы стереометрии Вспомогательные задачи

Теоретический материал Аксиомы стереометрии 1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 2.если две точки прямой лежат в одной плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 3.если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Теоремы стереометрии 1.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. 2.Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. 3.Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. 4.если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Методы построения сечений Простейшие - Построение сечений через три точки - Построение сечений через данную точку и прямую Параллельного проектирования Построения через одну прямую, параллельную другой прямой Построения через точку параллельно плоскости Метод следов Метод вспомогательных сечений Комбинированный метод

Построение сечений плоскостью, проходящей через три точки Построить сечение четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки 1)MN 2)MN BC = X 3)XK 4)XK DC = P 5)XK AB = Y 6)YM 7)YM SA = Q 8)PN 9)KQ 10)MNPKQ – искомое сечение

Простейшие (построение сечения плоскостью, проходящей через данную точку и данную прямую)

Метод параллельного проектирования Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки М,N,P, где точка М лежит в грани AA 1 C 1 C, N – в грани AA 1 B 1 B, P лежит на BC. 1)N 1 и M 1 проекции N и M на (ABC) 2)N 1 M 1 AP = Х 1 3)ХP AA 1 = K 4)KN, KM 5)KN AB = O, KM CC 1 = D 6)DP, OP,KO 7)KDPO-искомое сечение

Метод построения сечения через одну прямую параллельно другой прямой

Построение сечений плоскостью, проходящей через данную точку параллельно данной прямой

1)Q 1 лежит на q 1, q 1 || PQ,K лежит на q 1 2)q 1 CD=S 3)Q 1 лежит на q 2, q 2 || QR 4)q 2 B 1 C 1 =E, q 2 CC 1 =C 2 5)SC 2 6)SC 2 C 1 D 1 =F,SC 2 DD 1 =D 2 7) FD 2 8)EF 9)Q 1 E 10)Q 1 K 11)KD 2 KQ 1 EFD 2 -искомое сечение

1)BS 1 ||PQ 2)BC 2 ||QR 3)C 2 S 1 4)BS 1 AD = S 2, BC 2 B 1 C 1 = E, C 2 S 1 C 1 D 1 = F, C 2 S 1 DD 1 = D 2 5)D 2 S 2 6)FE BEFD 2 S 2 –вспомогательное сечение 7)A 2 V||D 2 S 2 8)VT||FE 9)TB 2 ||BC 2 10)A 2 B 2 A 2 VTB 2 – искомое сечение

Метод следов

Метод вспомогательных сечений (метод внутреннего проецирования)

Комбинированный метод построения сечений

Комбинированный метод: построение сечения, проходящего через прямую параллельно другой прямой

В данной работе были рассмотрены методы построений сечений многогранников. Изучение данного раздела геометрии развивает пространственное мышление, служит важным фактором развития пространственных представлений, даёт навыки по изображению пространственных фигур на плоскости. Это будет востребовано при работе в различных отраслях промышленности, технике, строительстве, искусстве.